数理教育研究会

入試問題解説

慶應義塾中等部 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は慶應義塾中等部を扱います。

今年度は難しい問題も混ざっていたので、時間配分や、どのあたりで切り上げて次の問題にいくか立ち回りが難しそうだと思いました。

【問題分析】
大問1…(1)(2)は王道な計算問題、こういうのはあわせないといけない。(3)循環小数ですが、周期は6桁という少し長めなのが慶應中等部らしいです。(4)よくある場合の数です、瞬殺したい。

大問2…(1)基本的な通過算、瞬殺したい。(2)約数全部足す公式は使う学校そこそこあるので、覚えていてもよいと思います。(3)基本的な旅人算、瞬殺したい。(4)比の問題です、読み間違えないよう瞬殺したい。

大問3…(1)ベンツ切り(チェバの定理)の典型問題なので瞬殺できるように仕上げていきましょう。(2)基本的な平面図形の問題が流れている中、やったことないと時間内に解くのは厳しい問題が突然出ています。ツルを折るときのように折る問題です。知らなかったら飛ばす高い決断能力を求められています。(3)典型的な図形問題ですね。(4)難しそうに見えて意外と簡単です。3.14は最後にかけるようにすることを求められているだけです。
大問4…水の体積の問題。底面積は(高さ)÷(時間)の逆比になるやら典型的な解法だけですが、確実に早く合わせないといけないのでよく練習しておきましょう。

大問5…群数列の問題ですが、これはどうなのかって言うぐらい丸まま高校数学の問題です。(1)まず何群目に入るか、その次にその中で何番目か。(2)300は何群目の何番目か、群ごとに和をだして、それを足しあげる。解法をしっかり身につけておきましょう。

大問6…計算も処理も簡単ですが、特に(2)は問題文を読み取り、どう処理をしていいかの判断が難しめです。(1)は見えていないところを全部白にするか黒にするかぐらいではあります。(2)はつるかめ算で白と黒の個数をだして、表面に黒をおくときは場所に何面出てくるか違うことを読み取らないといけません。

大問7…今回はこの問題を扱います。

(問題)慶應義塾中等部 大問7
1個180円のシュークリームと、1個220円のプリンがあります。シュークリーム5個のセットだと800円で買え、プリン6個のセットだと1200円で買えます。さらに、シュークリームとプリン2個ずつのセットだと650円で買うことができます。例えば、シュークリームを5個買う場合、シュークリーム5個のセットで800円で買うこともできますし、1個180円のシュークリームを5個で900円で買うことも出来ます。次の[   ]に適当な数を入れなさい。
(1)5000円以内でプリンを少なくとも5個買うとき、シュークリームは最大[   ]個買えます。

(2)シュークリームとプリン合わせて50個買って、代金がちょうど10000円になるような買い方を考えます。この条件の下で、プリンをできるだけ多く買いたい太郎君は、プリンを[ア]個買いました。また、同じ条件の下で、シュークリームをできるだけ多く買いたい二郎君は、シュークリームを[イ]個買いました。

[解答]
(1)この大問の難しさは、どういう考え方の枠組みを作ったら良いかです。

それではまず条件を整理して、それぞれの買い方が1個当たり何円になっているかを見ていくと

まず単体では
シュークリーム単体1個180円
プリン単体1個220円
シュークリーム5個セットは1個当たり800÷5=160円
プリン6個セットは1個当たり1200÷6=200円
シュークリームとプリン2個ずつのセットは1個あたり650÷4=162.5円、ただしプリンまたはシュークリームを1個欲しかったと考えると650÷2=325円

どう組み合わせればよいか、これ以上は考えてもややこしくて頭痛くなりそうですが、
プリンを出来るだけ少なく5個以上買わないといけないことは確かです。
なのでプリンを出来るだけ少なく5個以上買う方法で場合分けしてみます。

○プリン単体で5個買う
○プリン6個セットを買う
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買う
の3つの場合に分けることができます。

○プリン単体で5個買ったとき
残りの金額は5000-220×5=3900円
買えるシュークリームの個数はまずは1個当たりの安いシュークリーム5個セットを出来るだけ買って
3900÷800=4余り700
残り700円は単体で買えばよくて700÷180=3余り160円
よってシュークリームは5×4+3=23個買えます。

○プリン6個セットを買ったとき
残りの金額は5000-1200=3800円
同様にして
3800÷800=4余り600
600÷180=3余り40円
よってシュークリームは23個。

○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買ったとき
残りの金額は5000-650×3=3050円
同様にして
3050÷800=3余り650
650÷180=3余り110
よってシュークリームは2×3+5×3+3=24個

以上よりシュークリームは最大24個とわかりました。

(2)
[ア]
どう考えていくか難しいところですが
合計10000円だけでなく合計50個という条件もついています。
ちょうど10000円になるようにプリンを出来るだけ買うことを考えてもなかなか難しいです。
そこで関西の塾でよくやる、つるかめ算
プリン50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます。

○プリン50個買うと
プリンはシュークリームとプリン2個ずつのセットは使えないので単体220円,6個セットで1個当たり200円なので基本的に200円以上になります。
できるだけ安く買うと50÷6=8あまり2より
(プリン6個セット)×8+(プリン単体)×2=10040円

○プリン49個買うと
出来るだけ安く買うには
(プリン6個セット)×8+(プリン単体)×1+(シュークリーム単体)×1=10000円
とちょうど10000円になりました。

よってプリンを出来るだけ多く買うと49個とわかりました。

[イ]同じようにしてシュークリーム50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます、

○シュークリームを50個出来るだけ高く買ってもシュークリーム単体で50個買って
180×50=9000円より1000円届かなくなります。
○シュークリーム49個買うと出来るだけ高くしても180×49+220×1=9040円
○シュークリーム48個買うと出来るだけ高くしても180×48+220×2=9080円
○シュークリーム47個買うと出来るだけ高くしても180×47+220×3=9120円

40円ずつ高くなるので10000円になるには1000÷40=25
よりシュークリーム50-25=25個の時に10000円になります。

これが26個以上であれば10000円に届かないので出来るだけ多くシュークリームを買うと25個とわかりました。

この問題はどう考えていけばいいか難しいですが、1個当たりの値段や、つるかめ算でやるような表を書いて規則性を考えたりなど使うことは典型の手法になります。まずはしっかり典型を解けるようにしておきましょう。(畠田)

六甲中学校 入試分析 算数 (A日程) 2020(R2)

今回は六甲学院中学A日程を扱います。

【問題分析】
大問1…王道な計算問題です。確実にあわせましょう。

大問2…完全順列のちょっとした応用問題です。Aだけ同じ場合をやれば5倍すれば良いので完全順列をやったことなくても出来てほしいところです。

大問3…かなりの典型問題の展開図の問題です。解き方を覚えて解けるようにしてください。

大問4…かなりの典型問題の約数の問題です。これも解き方を覚えて解けるようにしておくのが基本です。

大問5…かなりの典型問題の比の問題です。人口密度の比は(人口の比)÷(面積)の比になります。

大問6…消去算になり苦手な人も多いですが,出来るようにしておけば点数とりやすいのでしっかり勉強しておいてほしいです。

大問7…算数的な構造としては不定方程式のような問題です。(1)(2)については計算というよりは、論証を求められています。今回はこの(3)を扱います。

大問8…よくある3つ点が円を回る問題です。同じような問題はやったことあると思うので、しっかり解けるようにしておきたいです。

大問9…見たことないような問題になります。しかし挑戦のなす角度は直線を平行移動しても変わらないので台車が一直線上にあるとすると、光線がなす角度は
(前の台車の回転した角度)-(後ろの台車の回転した角度)
になるのでそんなに難しいわけではないです。

(問題)六甲学院中学 A日程 大問7(3)
2つの砂時計A,Bがあり,砂時計Aは5分,Bは7分を計ることができます。これらの砂時計を使って時間を計ろうと思います。砂時計は初め砂が落ちきった状態にあり,砂時計をひっくり返したときから時間を計るものとします。ただし,砂が落ちている途中に砂時計をひっくり返すことはできますが,横にして砂を止めることはできません。また,ひっくり返すときにかかる時間は考えないものとします。
(3)6分,8分,11分,13分,16分の中で計ることのできない時間はどれですか。答えのみをすべて書きなさい。

[解説]
省略した(2)から
5+(7-5)+(7-5)=9
というように5分の砂時計Aを使えばその後は2ずつ増やすことができます。

計れる一番小さい奇数の時間は5分なので
5,7,9,11,…
というように5以上の奇数はすべて計ることができます。

一番小さい偶数は5分の砂時計Aを2回使った10分となります。
よって
10,12,14,16,…
というように10以上の偶数はすべて計ることができます。

したがって6分,8分,11分,13分,16分のうち計ることができないのは
6分と8分
ということがわかりました。

初見の問題に見えても根幹にあるものは典型的な解法の考え方である場合があります。普段から典型問題の練習と使えないか練習をしておきましょう(畠田)

浦和明の星女子中学校 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は浦和明の星中学第1回の理科を扱います。

【問題分析】
大問1…物理の問題です。・斜面は加速して速度が速くなる・水平面では速さが一定がポイントです。水平面より斜面が先にある方が、加速されてから水平面を通るので早くなります。ただし,斜面では加速されると言っても長ければ長いほど時間はかかります。
問題文に与えられたデータで考えたら解ける問題ですが、ある程度知っていないと厳しいと思います。

大問2…典型的な水溶液に溶ける金属の計算問題です。しっかり勉強していれば問題ありませんが、苦手としている人も多いかもしれません。しかし勉強した努力は裏切らない問題なのでぜひ勉強しておいてください。

大問3…光合成の問題です。よく聞かれる問題とは言え、しっかりとした考察を聞かれており、そんなに簡単でもありません。しかし正解したい。ただし問4(b)(c)については複雑なグラフや長い文章をだらだら書いていますが、北半球と南半球は季節が逆と言うことなだけで問題文を読まなくて答えがすぐに埋まります。長くて複雑に見えても諦めずに最後まできっちり問題を見ておきたいです。

大問4…日食の問題ですが、これも難易度が高めの考察です。問2は普通は月の公転を考えるので戸惑ったかもしれません。問4では月の公転面と地球の公転面が平行でないので新月の時に一直線になるとは限らないから日食は毎回起こるわけではありませんでした。しかし公転面が平行になったとすると毎回新月で日食が起こると考えられます。だから毎月起こると考えられます。しかし月の満ち欠けは29.5日というように地球と月と太陽が一直線になる時間は約0.5日ずれていくので見ることが日食や部分日食を見ることができる地域はかわっていきます。
今回は問5を扱います。


(問題)R2 浦和明の星中学 大問4の問5
太陽のようにみずから光る星にも明るさが変化するものがあり、このような星を変光星といいます。変光星にはいくつか種類があり、地球から見たとき日食と同じしくみによって明るさが変化する星を、食変光星といいます。
いま、星Aのまわりを、星Aよりも暗く大きな星Bが矢印の方向へまわっている食変光星について考えます(図7)。観測者から見て、星Aと星Bが図7のように並んでおり、そこから星Bが星Aの周りを一周まわるまでの時間と経過と、食変光星の明るさの変化を表しているものはどれですか。もっとも適当なものを選び、ア~カで答えなさい。ただし、星Aと星Bのそれぞれの大きさや、おたがいのよりは正確ではありません。

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urawaaker20r2.jpg

[解説]
観測者と星Aの間に星Bが入ると暗くなるだけやろと思いますが、そんな選択肢はありません。

実はこれは星Bが暗く描かれているので光ってないように思ってしまいますが、星Aに比べて相対的に暗いだけであって恒星でしっかり光っています。
だから両方見えてる時の方が明るくて、重なると暗くなります。

まず星Bが星Aの後ろに回って星Bが隠れますが、その後星Bが手前まで回ってきて星Aが隠れます。

しかし星Bが隠れるときよりも星Aが隠れた時の方が暗くなるのでとわかります。

見たことない問題なのでかなり難しいとは思います。しかし、よく勉強しておかないとどの問題はとることが出来て、どの問題は落としていいのかわからなくなります。しっかり勉強してば判断できるようになり合格に近づきます!(畠田)

浦和明の星女子中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は浦和明の星中学第1回を扱います。

【入試資料分析】
受験者数2053人
合格者数1061人
実質倍率1.9

平均点は
受験者全体 合格者全体の順に
国語74.7 79
算数56.6 68
理科30.9 35
社会37.6 40.2
合計199.7 222.3

算数はここ数年では少し低めでした。
受験者全体と合格者全体の平均点の差をみると、算数はかなり差がつきやすい科目となっています。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題です、必ずあわせましょう。(2)仕事算の基本的な問題です。(3)2つの斜線部の面積が等しいということは,直角三角形とおうぎ形の面積も等しいという、よくあるパターンなのでしっかり正解したい。(4)丁寧に数えて規則性を見つける問題です、正解したい。(5)年齢算、少し応用的ですが正解したい。(6)状況を把握するのが少し難しかったかもしれません。上からと下からと横からを全部あわせて、左右上下を考えましょう。(7)表の読解力が必要ですが、正解したい。(8)少し複雑な食塩水の濃度の問題ですが、あわせておきたいところです。

大問2…(1)旅人算。時間を計算するとそんなに複雑でもないので正解したいところです。(2)そんなに複雑というわけでもないですが、ミスをしないようにきっちり見直しを。

大問3…比の問題です。箱アと箱イはみかんの合計数同じなので比の和が同じようになるようにします。よく練習しておいて確実にあわせたい。

大問4…(1)(2)くらいまでは正解できたらよいと思います。よく見るような問題かもしれませんが、ミスなく数えるのは難しいかもしれません。

大問5…今回はこれを扱います。

(問題)R2 浦和明の星中学 大問5
下の図のように、青い電球と赤い電球をそれぞれ19個ずつ並べ,左から順に0番から18番まで番号をつけました。
青い電球は7秒間隔で,赤い電球は13秒間隔で,次のように一つずつ一瞬だけ発光します。どちらの色の電球も,0,1,2,…,16,17,18,17,16,…2,1,0,1,2,…というように,0番から18番までは番号の小さい順に,18番から0番までは番号の大きい順に発光していくことを繰り返します。
はじめに,0番の青と赤の電球が同時に発光し,その後次々と発光していきました。次の問いに答えなさい。
urawaake20m1.jpg

(1)青と赤の電球が,0番で同時に発光した後,次に同時に発光するのは何番の電球ですか。青と赤の電球の番号をそれぞれ答えなさい。

(2)青と赤の電球が,0番で同時に発光した後,次に同じ番号のところで同時に発光する電球の番号を答えなさい。

(3)同じ番号のところで同時に発光する青と赤の電球が,0番と(2)の答え以外にもあります。その電球の番号を,0番と(2)の答えを除いてすべて答えなさい。

[解説]
(1)7と13は互いの素です。
なので7×13=91秒後に同時に光ることになります。
ということは
青い電球は91÷7=13番目
赤い電球は91÷13=7番目
とわかります。

(2)まず(1)がヒントになってることを疑うのが一番最初にやることがです。
91秒の倍数であるはずで青い電球は13個ずつ進み,赤い電球は7個ずつ進みます。

しかも0と18は1回ついて折り返しで往復しているとなると速さの問題に似ています。

速さの問題では出会いと追いつきを考えました。

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出会いでは二つの電球が進んだ個数の和が18×2=36個の整数倍
追い抜きでは二つの電球が進んだ個数の差が18×2=36個の整数倍

となります。

○出会いの時
(13+7)×A=36×B
これを整理して
5×A=9×B
より一番小さいAは9とわかります。

この時,赤い電球は7×9=63進むので

63=36×2+18+9
より番号9とわかります。

○追いつきの時
(13-7)×A=36×B
これを整理して
A=6×B
より一番小さいAは6とわかります。

この時,赤い電球は7×6=42進むので

42=36+6

より番号6です。

ということは番号9より番号6の方が小さいので番号6とわかります。

(3)(2)より
○出会いの時
出会いの電球の番号は9ずつ増えるので
0,9,18,9,0,…

○追いつきの時
追いつきの電球の番号は6ずつ増えるので
0,6,12,18,12,6,0,…

以上より番号は9,12,18とわかりました。

前の問がヒントになってないか?考える,色々と試してみて問題を掴んでみる,似たような問題の解法が使えないか?考える。これらのアプローチを練習していけば合格に近づきます!(畠田)

神戸海星女子学院中学校(A日程) 2020(R2)入試分析 算数 

今回は神戸海星女子学院中学 A日程を扱います

【入試資料分析】
受験者数144人
合格者平均240.0
合格最低点204/360
合格者数97人
実質倍率1.48

ここ数年は平均点が高いので基礎的な間違えてはいけない問題を落とさないようにするタイプの試験になっています。

【問題分析】
大問1…一通りの分野の本当に基本的な例題という問題を集めた小問集合です。ここは落とせません。

大問2…消去算の問題です。やり方は単純なので計算ミスのないようにしたいです。

大問3…(1)(2)かなり典型的な図形の日の問題です。(3)三角形の底辺と高さの比で面積の比が求まりますが(1)(2)が誘導になっているので確実にとりたいです。

大問4…今回はこれを扱います。

大問5…流水算の問題です。一通りの基本的な例題をマスターしておけば解けるので点数をとりたい。

大問6…立方体のブロックがたくさんある問題です。よく練習させられているのでこれもとりたいところです。

(問題)R2 神戸海星女子学院中学 大問4
赤,青,黄の3つのさいころを同時に投げます。次の問いに答えなさい。

(1)赤の目より青の目が大きく,青の目より黄の目が大きくて,3つの目の和が12になるような,赤,青,黄の目の組をすべて書きなさい。例えば,赤の目が1,青の目が2,黄の目が3のときは,(1,2,3)と書きなさい。

(2)3つのさいころの目の積が30となるような目の組はいくつありますか。

(3)赤と青のさいころの目の積が黄のさいころの目よりも小さくなるような目の組はいくつありますか。

[解説]
(1)小<中<大となる1~6からの数字3つを選べば赤、青、黄の目と対応します。
(1,5,6)
(2,4,6)
(3,4,5)

の3つとなります。

(2)
30=2×3×5です。
5の目は必ず1つ出ます。
後は6が出る場合と出ない場合です。

3つの数字の組み合わせを考えてから,赤,青,黄と並べる方法を考えます。

6が出る場合は3つの数字の組は
(6,5,1)
この並べ方は3×2×1=6通り

6が出ない場合は3つの数字の組は
(2,3,5)
この並べ方も3×2×1=6通り

よって6+6=12通りとわかりました。

(3)
赤と青のさいころの目が異なる場合と同じ場合で分けてみます。

赤と青のさいころの目が異なる場合
目の積が5になるとき数字の組合わせは(1,5)で黄色の目は6の1つ
目の積が4になるとき数字の組合わせは(1,4)で黄色の目は6,5の2つ
目の積が3になるとき数字の組合わせは(1,3)で黄色の目は6,5,4の3つ
目の積が2になるとき数字の組合わせは(1,2)で黄色の目は6,5,4,3の4つ
そして赤と青を並べると2通りずつになります。
よって
(1+2+3+4)×2=20通り

赤と青のさいころの目が同じ場合
赤と青のさいころの目が1の時、積は1で黄色は2,3,4,5,6の5通り
赤と青のさいころの目が2の時、積は4で黄色は5,6の2通り
よって5+2=7通り

したがって
20+7=27通り
とわかりました。

この問題は整理や処理の仕方がポイントになります。数え上げていく確かな基礎的な練習が合格に近づきます!(畠田)

フェリス女学院中学校 理科 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回はフェリス女学院中学の理科を扱います

【問題分析】
大問1…蒸散や光合成に関する問題です。細かい知識が問われているわけではないので、大筋をしっかり理解しておうことが重要です。

大問2…湿度の問題です。問題文を読めばある程度わかるように出来ています。これも細かい知識というよりは、基礎的なことを理解をして問題文から読み取る練習が重要です。

大問3…ばねの問題です。簡単ではありますが、間違いやすい問題を誘導つきで理解しながら解けるようにしている丁寧な良い問題です。今回はこの小問2と4を扱います。

大問4…ドライアイスに関する基礎的な事項が一通り問われています。確認しておきましょう。

(問題)R2 フェリス女学院中学校 大問3
1つの物体を、両側から反対向きに同じ大きさの力で引っ張ると、制止して動きません。この原理を用いて、ばねの性質について考えてみましょう。ただし、ばねの重さは考えないものとします。

図1のように、5cmのばねAの上端を棒に固定し、下端に50gのおもりをつるしたところ、ばねはのびて、全体の長さが7cmになりました。
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小問2
図2のように、ばねAを横いして両端にひもをつけ、それぞれのひもを滑車にかけて50gのおもりをつるしました。ばね全体の長さは何cmになりますか。
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ばねAのかわりに、性質の異なるばねBを用いて、図1と同じ実験をしました。8cmのばねBの上端を棒に固定し、下端に50gのおもりをつるしたところ、ばねはのびて、全体の長さが12cmになりました。

小問4
図3のように、ばねAの下端にばねBをつるし、ばねBの下端に50gのおもりをつるしました。全体の長さは何cmになりますか。

ferisu20r3.jpg

[解説]
小問2
図1のようにばねは両側から50gずつひっぱられると全体の長さが5cmから7cmになりました。
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図2においても両側から50gずつ引っ張っられているので7cmになります。

小問4
ばねBは両側から50gずつ引っ張られると全体の長さが8cmから12cmになります。
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図3においてもばねAは両側から50gずつ引っ張られているのでばねAの長さは7cm、ばねBは両側から50gずつ引っ張られているのでばねBの長さは12cm

よって全体は7+12=19cmとなります。

細かい知識よりも基本的なことを、何故そうなるのか理解しておくように勉強しておくこと合格に近づきます!(畠田)

フェリス女学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回はフェリス女学院中学の算数を扱います

【入試資料分析】
2020年度の受験者数は384人で合格者195人、倍率は1.97倍です。

平均点は
国語:70/100
算数:54/100
社会:41/60
理科:42/60

【問題分析】
大問1…(1)王道な計算問題です、絶対あわせましょう。(2)角度を調べると二等辺三角形を発見できる、基本的な良い問題です。(3)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10がそれぞれ何回あらわれて,それは2が何個分か?3が何個分か?5が何個分か?7が何個分か?を考えます。勉強にするにもよい問題です。(4)典型的な比の問題です、必ずあわせたい。(5)例1ではお尻同士がくっついてる場所が一カ所、または全部同じ向き。例2では頭が向き合っている箇所の左側と右側が例1のようになっています。色々書いて規則性を把握しまししょう。

大問3…(1)は扇形から直角二等辺三角形を取り除くだけです。(2)30°を利用して三角形の高さを求めて三角形の面積をひくのがポイントになります。どちらも基礎的なのであわせたい。

大問4…完全にa_(n+1)=2/3×a_n+10を解くという高校の漸化式の問題です。(1)計算してみて操作を理解しましょう。(2)特性方程式x=2/3×x+10を解いてx=30と求めて差を考えるのが高校の解き方ですが、それを誘導でやってくれています。
30-(n+1番目の数)={30-(n番目の数)}×2/3
となっています。(3)30-10=20を何回2/3倍すれば30-29=1より小さくなるか考えます。高校の範囲と言えども誘導がしっかりついてるので点数はとりたいところです。

大問5…今回はこれを扱います。

(問題)R2 フェリス女学院中学校 大問2(1)
Aさん,Bさん,Cさん,Xさんの所持金はそれぞれ1600円,3000円,4000円,x円です。AさんとXさんの所持金の差はa円,BさんとXさんの所持金の差はb円,CさんとXさんの所持金の差はc円です。a,b,cはすべて異なる数です。次の問いに答えなさい。(1),(2)は下のわくの中から選んで答えなさい。
ferisu20m1.jpg
(1)a,b,cの大小関係についてありえないものを,上のわくの中の①~⑥からすべて選び,その番号を答えなさい。

(2)bとcの和がaの2倍に等しいとき,a,b,cの大小関係として考えられるものを,上のわくの中の①~⑥からすべて選び,その番号を答えなさい。

(3)bとcの和がaの2倍に等しいとき,Xさんの所持金x円はいくらですか。

[解説]
(1)大小関係がどこで切り替わるか数直線で考えてみます。
ferisu_2020_kaisetu_m5-1-1.jpg
図はxの位置によってa,b,cの大小関係がどうなるかを表していて、aとbはAとBの中点,bとcはBとCの中点,cとaはCとAの中点を境に大小関係がかわります。
この図から
のa<cとc<bは同時に成立しなくて
のc<aとa<bは同時に成立しないことがわかります。

(2)式で考えると楽です。(1)より②と⑤以外となります。
①a<b<cであればb+c>a+aなのでb+cはaの2倍より大きいです。
④b<c<aであればb+c<a+aなのでb+cはaの2倍より小さい
⑥c<b<aであればb+c<a+aなのでb+cはaの2倍より小さい

のでのb<a<cしかないことがわかります。

(3)
ferisu_2020_kaisetu_m5-1-2.jpg
b<a<cなのでxは図の赤い部分の値よりxは1600より大きく,3000と4000より小さいので
a=x-1600
b=3000-x
c=4000-x
より(x-1600)×2=3000-x+4000-x
整理してx×4=10200からx=10200÷4=2550
とわかりました。

これは高校でやるような絶対値の問題ではあります。綺麗に解けなかったとしても,色々な場合を具体的に考えてみてみましょう。(畠田)

駒場東邦中学校 理科 問題 解説★2020年(R2年)

今回は駒場東邦中学の理科を扱います

【問題分析】
大問1…小問集合です。一通りの基礎的な知識や計算が聞かれています。満点狙いたいところです。。

大問2…(1)今回はこの問題を扱います。(2)消化するには、温度を下げる、酸素がなくなることがポイントです。(3)(4)固体が気体になると体積が大幅に大きくなる、ドライアイスの白いけむりは水です。(5)青いのりはアルカリ性の青、酸性になると透明になる知識が必要です。しかし2つ選べなので,同じ現象なのは酸性とアルカリ性の話だけではあります。(6)酸性雨の基本的な問題です。

大問3…(1)(2)関節の問題です、その場で考えて答えるタイプです、(3)図1を見ることである程度わかります。(4)腕の動かし方などから同じように考えます。(5)わざわざ問題にしてるので尾びれは平行と答える可能性は高いです。平行であれば上下に動かす。(6)問題文にある程度ヒントがあるので、それに沿って書きましょう。

大問4…(1)作図して考えましょう。(2)地球の影の曲線は大きい円の一部になるものを選びましょう。(3)太陽が大きいので平行線ではなく、狭くなっていきます。(4)地球に比べて月は小さいので日食は月の影が地球の一部の地域にしかできませんが、月食は地球の影が付き全体を覆います。(5)問題文が意味不明ですが、月は東から西へ移動してるように見えるのに、東からかけていくのは何故かと聞いていきます。

大問5…(1)簡単な計算です。(2)問題文を読んでもアルコールの方が水より密度が小さいことは覚えておかないと解けません。(3)砂糖水の重いので先に入れてください。(4)対流の仕方をとわれています。(5)オレンジジュースの方が重いという知識は必要ですが、オレンジジュースの方が重くないと問題にならないので、そういうことからもわかります。

(問題)R2 駒場東邦中学 大問2(1)
空気中でものを燃やした時の気体の割合の変化を見るため,空気中の気体の体積の割合を教科書で調べたところ,
ちっ素 約78% 酸素 約21%,二酸化炭素 約0.03%.その他 約0.97%であることがわかりました。箱の中に空気を入れ,火のついたろうそくを入れてふたをすると,少しの間燃え続け,ろうそくがなくなる前に火が消えて,箱の壁に水滴がつきました。ろうそくを燃やす前と,燃やした後,箱の中にある気体の体積の割合を図で表したものとして,もっとも近いものをア~オから1つずつ選び,それぞれ記号で答えなさい。ただし,図中の○はちっ素,●は酸素,◎は二酸化炭素を表し、すべての図の中にある印(○●◎)の総数はそれぞれ33個です。また,2%以下の気体は図の中に示さないものとします。
komatou20r1.jpg

[解説]
まず問題文から2%以下の気体は表さないので燃やす前は二酸化炭素がないものなのでとなります。

燃やした後は、ろうそくは火が消えるのは酸素がなくなった時ではありません。
酸素濃度が17%以下になった時です。
なのでエの●が一つ◎になったとなります。

微妙に細かいことが聞かれることあるので、すみずみまで読んでおくようにしておきましょう(畠田)

駒場東邦中学校 算数 問題 解説★2020年(R2年)

今回は駒場東邦中学を扱います

【入試資料分析】
今回は駒場東邦中学校をとりあげます。

受験者数 576名,合格者数 290名で実質倍率1.99です。
教科ごとの点数は(平均点 合格者平均点 配点)の順に
国語(60.8 66.9 120)
社会(49.6 53.9 80)
算数(74.0 84.0 120)
理科(55.1 59.3 80)
合計(239.5 264.1 400)
難易度が高かったわけではありませんが、算数の平均点はここ数年では少し低めでした。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題、必ず正解したい。(2)簡単な図形の転がりの問題、瞬殺したい。(3)(面積)÷(1辺の長さ)で比をとる問題、確実にあわせたい。(4)意外とほとんど場合分けが生じません。大きい方から決めていくとI+Jが10+14しかなくて、E+Fが11+5と9+7で迷いますが11+5とするとA+B=14が作れないので9+7簡単に決まります。正解したい。

大問2…今回はこの問題を扱います。

大問3…(1)(2)簡単な計算で求まります。これはあわせておきたい。(3)計算は面倒ですが難しくはありません。しかし問題の状況を理解するのは難しいです。外のコースほど合計200mにするために前方からスタートしないといけませんが、さぶろう君は3.14×10=31.4m前方となりこれはBCの半分の長さ18.6mを越えてるので曲線部分からのスタートになることが注意です。

大問4…(1)全部同じ面積なので(ア)は一番面積の小さい青になります。正方形の面積は144×4=576=24×24とわかります。(2)(ア)の下にある長方形は見えている縦の長さが24-8=16cmより横の長さは144÷16=9cmなので黄色というようにわかっていきます。(3)青が105.6cm^2、黄が156cm^2なので残りは314.4cm^2なので赤は下で白が一番上とわかります。白は短い方の辺が9.6cmと小数なので,その一つ下も面積が小数の105.6cm^2である青と意外とすぐにわかっていきます。

(問題)R2 駒場東邦中学 大問2
2つの整数A,Bに対して,A÷Bの値を小数で表したときの小数第2020位の数を<A÷B>で表すことにします。例えば,2÷3=0.666…なので,<2÷3>=6です。このとき,次の問いに答えなさい。
(1)<1÷101>,<40÷2020>をそれぞれ求めなさい。

(2)<N÷2020>=3をみたす整数Nを1つ求めなさい。

[解説]
(1)
1÷101=0.00990099…
0,0,9,9の4つが繰り返されます。
2020÷4=505で割り切れるので小数第2020位は4番目の9とわかります。

40÷2020=0.01980198…
0,1,9,8の4つが繰り返されます。
小数第2020位は4番目の8とわかります。
40÷2020=2÷101なので1÷101の2倍になっています。

(2)前の小問がヒントになっていないか?これを常に考えたいところです。

1÷101は0099の繰り返しが続きますが、これを99と考えると一つさえ作ればよので一の位が3になるような倍数を考えて
99×7=693
なので
1÷101×7=140÷2020=0.06930693…
となり4番目がきっちり3になって出来上がっています。

他にも99×17=1683より
1÷101×17=340÷2020=0.16831683…
となりこれも4番目がきっちり3になって出来上がっています。

更に適当に
21÷2020=0.010396039…
も満たしています。

Nの値は140,340,21などなど…

うまく見つけられなくても、ごり押しで見つけてくる力も重要です。
そして前の小問をヒントにすることを意識するようにしましょう(畠田)

大阪星光学院中学校 算数 2020(R2)入試分析

今回は大阪星光学院中学を扱います。

【入試資料分析】
2017年度の入試概要は
志願者数:804名→741名→683名→755人→769人→737人
受験者数:765名→713名→653名→730人→733人→695人
合格者数:313名→298名→311名→284人→298人←297人
実質倍率:2.4倍→2.4倍→2.1倍→2.6倍→2.5倍→2.3倍
例年程度の倍率となりました。

点数情報は
国語(120点満点)
受験者平均:76.4→76.9→73.3→63.1→75.9→72.8
合格者平均:82.1→84.2→79.7→67.9→84.3→79.6
算数(120点満点)
受験者平均:77.4→79.7→72.8→68.3→55.6→68.4
合格者平均:95.0→91.6→87.4→88.3→74.8→82.2
理科(80点満点)
受験者平均:63.0→51.8→54.4→60.3→52.4→53.9
合格者平均:66.8→56.5→60.1→68.3→57.1→58.8
社会(80点満点)
受験者平均:59.1→55.9→55.0→57.7→60.5→59.3
合格者平均:62.1→59.3→58.2→61.9→64.6→63.5
総点(400点満点)
受験者平均:275.6→267.9→257.6→248.1→242.4→253.8
合格者平均:307.7→297.8→289.1→286.3→281.4→285.3
となっています。
算数は今年も最も差がつきやすい科目となりました。

【問題分析】
大問1…(1)連分数の問題です。分子が1になるように分母分子を割っていきますが一度やったことある人は有利だったかもしれません。(2)同位角、錯角。折り返しで同じ角度など使う基礎的な問題です。あわせたい。(3)基本的な場合の数の問題です、瞬殺できるように仕上げていきたい。(4)典型的な差集め算の応用問題です。必ずあわせたい。(5)回転により同じ長さのところのチェックと、直角三角形の角度に○や×を書いていって相似を見極める問題です。よく練習していると思うので必ずあわせたい。

大問2…(1)(2)(3)角速度など考える問題です。Pが動くわけでもないし、素早く満点をとりたいところです。

大問3…三角数の問題ですが、見た目的に少しわかりにくいです。奇数の段は左端から始まり、偶数の段は上端から始まります。(1)は簡単ですが(2)は処理能力も求められているので鍛えておきましょう。

大問4…共通部分を何とかする問題です。(1)の共通部分は三角柱でわかりやすいです。(2)は水平な断面考えると正方形なので四角すいになります。

大問5…星光らしい図形の問題です。(1)(2)はAと柱の角を直線で結ぶと影がわかります。(3)今回はこれを扱います。

(問題)R2 大阪星光学院中学 算数 大問5(3)
右の図のように,幅6mの歩道と車道があり,歩道内の図の位置に柱が立っています。また,車道の真ん中を幅2mの車が上方から下方に向かって走っています。歩道,車道とも十分に長いものとします。


(3)太郎君が地点Bに立っていて,車が柱のかげに完全に隠れると同時に,矢印の方向に毎秒1mの速さで歩道の真ん中を歩き始めました。車の一部が見え始めるのは,太郎君が歩き始めてから[   ]秒後です。
oosakaseikou20m1.jpg

[解説]
(3) 太郎君と柱の角を結んだ直線と、車のサイドを通る直線との交点がどう進むかシャドーを考えます。
seikou_2020_kaisetu_m5-1.jpg

図のように赤とオレンジの角については左から毎秒2/3m,4/3m
青と紫は毎秒4m,6mとなります。

seikou_2020_kaisetu_m5-2.jpg

車が柱のかげに完全に隠れたときから2秒後は(2)からまだ柱のかげに完全に隠れています。
そして赤より青のシャドーが前になります。
4秒後には紫よりもオレンジのシャドーの方が後ろになります。

オレンジのシャドーは左も右も車の速さにおいつけません。
しかし青のシャドーは左が毎秒4mの速さで車の速さが毎秒4.5mより

4.5-4=0.5より毎秒0.5で近づくことになります。

2秒後から車の左下がシャドーにぶつかるのは(7-2)÷0.5=10秒

つまり2+10=12秒後とわかりました。

影の問題はよく出題される範囲なので解き方をマスターしておきたいです。
整理して解けるようにしておけば合格に近づきます!(畠田)

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