数理教育研究会

入試問題解説

灘中学校 算数(1日目)2019(H31)入試分析 その2

今回は灘中学、算数1日目の大問4をとりあげたいと思います。
大問4では表面上は高校数学で習う合同式を道具として使わなかったとしても根本的な考え方,解法の原理は合同式になります。
灘でもよく出題され,合同式の考え方に慣れていれば大きく有利になるのでぜひ考え方を勉強してください。

(問題)2019年度 灘中学校 算数第1日目 大問4
A=377×377×377×377×377×377とするとき,Aの約数の中で14で割ると1余るものは,1を含めて全部で[ ① ]個あります。また,Aの約数の中で15で割ると1余るものは,1を含めて全部で[ ② ]個あります。

[解説]
このような余りの問題が出たとき
(A+BをPで割った余り)=(((AをPで割った余り)+(BをPで割った余り))をPで割った余り)
(A-BをPで割った余り)=(((AをPで割った余り)-(BをPで割った余り))をPで割った余り)
(A×BをPで割った余り)=(((AをPで割った余り)×(BをPで割った余り))をPで割った余り)
を使います。
和,差,積は余りにおきかえて計算してしまったらよいわけです。


377=13×29よりAは13の素因数が6個と29の素因数が6個の積です。
14で割った余りで考えると
29は14で割ると余り1です。
13は14で割ると余り12ですがこれを1不足しているということで余り-1として扱います。
余りで掛け算を考えると
1×1=1 ←余り1になるもの同士をかけると余り1の整数になる
(-1)×(-1)=1 ←1不足しているもの同士をかけると余り1の整数になる
このルールで考えればよいことになる。

なので(余り1の整数である)29は何個使ってもよくて,
(1不足の整数である)13は偶数個使えばよいことになります。

29の使い方は0個から6個の7通り,13の使い方はは0個,2個,4個,6個の4通りより
7×4=28通り


29は15で割ると余り-1
13は15で割ると余り-2
と考えて扱います。

13の個数で場合分けすると
0個の時…1のことなので余り1
1個の時…2不足
2個の時…(-2)×(-2)=4で余り4
3個の時…4×(-2)=-8で8不足
4個の時…(-8)×(-2)=16で余り1
5個の時…1×(-2)=-2で2不足
6個の時…2個と同じで余り4
よってAの約数が余り1になるには,13が0個または4個で余り1,29が偶数個で余り1の時の1×1=1の場合しかない。
13の使い方は0個または4個の2通り,29は0,2,4,6個の4通りで
4×2=8通り

(畠田)

豊島岡女子学園中学校 理科 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は豊島岡女子学園中学の第一回の理科を扱います。

【問題分析】
大問1…ばね、てこの問題です。肩透かしのような問題も多いですが、しっかり理解しているかは問われています。ゴムは縮まない、伸びる時はばねと同じことは確認しておいてください。今回はこの(1)を扱います。

大問2…(1)よく問われる水溶液の分析の問題です、しっかり覚えて満点とりましょう。(2)塩化水素とアンモニアと塩化アンモニウムの比を考えてどちらかが不足してる問題です、典型なのでしっかりあわせたい。(3)ブドウ糖が発酵してアルコールに、そしてアルコールが発酵して酢に、そして二酸化炭素となっていくという問題ですが、わかりにくかったかもしれません。

大問3…(1)その場で考えたらある程度はわかりそうです。腸が全然ないのでZはないことはわかります。(2)背骨が丸出しです。(3)(4)臓器の形、位置、働きの基本的なことを覚えておきましょう。

大問4…地震の問題です。基礎的なことや、簡単な考察しか聞かれていないのでしっかり点数をとっておきたいところです。

(問題)R2 豊島岡女子学園中学 理科 大問1(1)
自然の長さが10cmで重さの無視できるばねを天井につるしておもりを取りつけるばねは伸び,ばねを床に取りつけておもりをのせるとばねは縮みます。このばねの長さとおもりの重さの関係は,グラフのようになります。
tosima20r1.jpg
(1)このばねを2つ用意し,40gのおもりの上下に取り付けました。上側のばね1の端を天井に,下側のばね2の端を床に取り付け,ばね1,ばね2の長さがそれぞれ10cmになるようにおもりを手で支えました。ばね1,おもり,ばね2は一直線上にある状態になっていました。おもりを静かにはなしてしばらく待つと,ばね1,おもり,ばね2は一直線上にある状態で制止しました。このとき,ばね1とばね2の長さはそれぞれ何cmになりますか。四捨五入して整数で求めなさい。

tosima20r2.jpg

[解説]
(1)このばねはグラフより10gで1cm伸びます。

tosimaoka_2020_kaisetu_rika_m1-1.jpg
まずこのセットを下は固定させずに床にもぶつからないと仮定して、ぶら下げたとします。

そうするとばね1は40gのおもりがぶら下がっているので4cm伸びて長さ14cm。
ばね2は伸び縮みなしで長さ10cm。

そしてばね2を床に固定すると全体で10+10=20cmになる必要があるので合計で4cm縮む必要があります。
今回はばね1もばね2も同じばねなので,それぞれ10gの強さで押すと同じ1cmずつ縮みます。
よって4÷2=2で2cmずつ縮めばよくなります。

よってばね1は14-2=12cm,ばね2は10-2=8cm

物理分野は一通りきっちり解き方をしっかり練習しておきましょう。
得点源になり合格に確実に近づきます!(畠田)

豊島岡女子学園中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は豊島岡女子学園中学の第一回を扱います。

【入試資料分析】
受験者数986人、合格者数402人
受験者平均は195.61/300
合格者平均は223.36/300

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(75.29,82.51)
算数(56.52,68.95)
社会(33.14,37.54)
理科(30.67,34.36)

例年と比べると算数は平均点は少し低めとなりました。

【問題分析】
大問1…(1)簡単な計算問題。(2)かなり基本的な問題です。(3)実質は倍数の個数の簡単な問題です。(4)約分されて10/7と考えるので比の問題です。少しややこしいですがしっかりあわせたい。

大問2…(1)ちょっとした文字式の問題です。(2)実際に数えていけばつかめると思います。3桁,1000台が何個あるかという考えに至ると思います。(3)時計算というほどでもない時計の問題。(4)有名な形の平面図形です。最終的に円の面積は消えます。

大問3…(1)(2)問題が複雑でないのでダイアグラムがあまり意味がありません。状況図を書いた方が良いと思います。Bが家から学校まで進むとAは何km進むか?また家から学校までの同じ距離を進んだ時、時間の比は速さの比に反比例します。Bの往復で速さの比がわかっているのでかかった時間の比がわかります。豊島岡はこういう旅人算の練習が必要です。

大問4…(1)(2)平面図形の問題です。一見色々考えないといけないと思いますが、ベンツ切りでだいたい同じように解決するので、しっかり練習しておきましょう。

大問5…(1)(2)(3)見た目に反して単純な問題です。合計を4で割ればPが何周するかわかるし,何周したかを4で割ればQがAに何回ついたかわかります。

大問6…今回はこれを扱います。

(問題)R2 豊島岡女子学園中学 算数 大問6
下の<図1>のように,1辺の長さが10cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺BC,CD,DAの真ん中の点をそれぞれL,M,Nとするとき,次の各問いに答えなさい。
tosima20m1.jpg
(1)4点L,N,H,Gを通る平面で立方体ABCD-EFGHを切り,2つの立体に分けます。<図2>は2つの立体のうち頂点Eを含む立体です。その中に,はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を,1つの頂点が点Eと重なるように置きます。このとき,その立方体の1辺の長さを求めなさい。

(2)3点L,M,Gを通る平面で立方体ABCD-EFGHを切り,2つの立体に分けます。<図3>は2つの立体のうち頂点Eを含む立体です。その中に,はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を,1つの頂点が点Eと重なるように置きます。このとき,その立方体の1辺の長さを求めなさい。
tosima20m2.jpg

(3)下の<図4>のように,辺AD,BC上にそれぞれ点P,Qを,DPとCQの長さが等しくなるようにとります。3点Q,M,Gを通る平面と3点P,M,Hを通る平面で立方体ABD-EFGHを切り,3つの立体に分けます。<図5>は3つの立体のうち頂点Eを含む立体です。その中に,はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を,1つの辺が辺EFと重なるように置きます。その立方体の1辺の長さが8cmであったとき,元の立方体のDPの長さを求めなさい。
tosima20m3.jpg

[解説]
(1)
tosimaoka_2020_kaisetu_m6-1.jpg
図の赤い直角三角形は直角を挟むに辺の比は10:5=2:1なので
相似な青い直角三角形の図の2辺の長さが[2]と[1]とおけます。
立方体の一辺の長さは[2]+[1]=10cmなので
[2]=20/3cm
とわかりました。

(2)
tosimaoka_2020_kaisetu_m6-2-2.jpg
図のように立方体の1つの頂点はオレンジのラインにあるはずです。

tosimaoka_2020_kaisetu_m6-3-2.jpg

これを面BLFGから見て正射影すると赤い直角三角形は直角を挟む2辺の比は4:1となるので掃除な青い直角三角形の辺の長さも図のように[4]と[1]とおけます。
立方体の1辺の長さは[4]+[1]=10cmなので
[4]=8cm
とわかりました。

(3)
tosimaoka_2020_kaisetu_m6-5-2.jpg
中にできる1辺の長さ8cmの立方体の上面を通る平面で切ることを考えると赤い部分のようになります。
元々の立方体と中にできる立方体の高さを考えると
三角形MGHにおいてMI:MH=(10-8):8=1:4
なのでIJ=2cmとわかります。

tosimaoka_2020_kaisetu_m6-4-2.jpg

この赤の断面を考えると青い直角三角形は直角を挟む2辺の比が2:3なので
オレンジの直角三角形も相似なので
4×2/3=8/3
と図の長さがわかります。

よってDPの長さはMI:IH=1:4だったので
8/3×5/4=10/3cm
とわかりました。

空間図形であっても平面におとして考えていくのがポイントになっていきます。
よく練習しておきましょう(畠田)

武蔵中学校 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は武蔵中学の理科を扱います

【問題分析】
大問1…仲間はずれを見つける問題ですがしっかり勉強していれば習ったことでわかるようにだいたい作られています。普段からテキストの注釈とかまで読んだりしておきたいところです。

大問2…問1は気象,問2は大地の変化の問題ですが、問3以降は生物の問題です。基本的な知識と理解が必要で、その上にその場で考えて解く問題です。細かい知識よりも、基本的なことをしっかりと理解しておく勉強が必要です。

大問3…今回はこれを扱います。

(問題)R2 武蔵中学 大問3
袋の中に、リング状の磁石が2つ入っています。2つの磁石は、引き離しやすくするために意図で結んであり、どちらもN極に黒いシールが貼ってあります。2つの磁石をつけたり離したりしてみると、つき方が何種類かあることに気づくでしょう。すべての種類について、下の表にN極とS極の区別ができる図をかいて説明しなさい。
ただし、磁石がついてるときに、全体を裏返したり回したりすると同じつき方になるものは1種類と考えます。


[解説]おみやげ問題ということで、実際には試験会場で磁石が配られるのでみんな正解したとは思います。
ここでは解説を書いておくと
磁石はどういうものかというと、物質は原子で出来ています。
そしてその原子には原子核があり,その周りを電子が回っています。

電子が回ると回転面に対して垂直に磁力線が発生します。
どの原子も電子の回転面が平行にそろっていれば、磁力線の方向がそろって物質全体として磁力線が発生している磁石となります。

よって磁石はどの原子においてもS極からN極に向かって磁力線が発生しているので、そういう風にリングの磁石を描くと
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-1.jpg

こうなります。

するとリングの穴のところと外側は磁力線の向きが逆になるので直径を通る断面で考えると
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-7.jpg

図のようになるので、磁石は磁力線の向きが一致するようにくっつくので次の5通りになります。

○一つのリングとN極の面ともう一つのリングのS極の面がぴったりくっつく。
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-3.jpg

○一つのリングをN極の面を上に、もう一つのリングをS極の面を上にして上のリングの中央に下のリングの端がくるようにくっつく中央
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-4.jpg

○一つのリングをS極の面を上に、もう一つのリングをN極の面を上にして上のリングの中央に下のリングの端がくるようにくっつく中央
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-5.jpg

○一つのリングのN極の面の端と,もう一つのリングのS極の面の端が幅がぴったりあうようにくっつく
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-8.jpg

○一つのリングのN極の面を上に、もう一つのリングのN極を下にして側面がくっつく。
musasi_2020_rika_kaisetu_m3-9.jpg

実際には試験会場で色々やって答えにはたどりつくと思います。
後は論点をおさえた記述がポイントです。
がんばってください(畠田)

武蔵中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は武蔵中学の算数を扱います

【入試資料分析】
受験者数580 合格者数188で実質倍率3.1
倍率は例年通りです。

教科別の平均点は(満点 合格者平均点 受験者平均点)の順に
国語(100 67.8 61.6)
算数(100 71.9 54.5)
社会(60 28.1 24.1)
理科(60 37.0 32.7)
合計(320 204.6 172.9)
合格最低点187/320

算数の平均点が去年の反動なのか、最近ではもっとも高くなりました。

【問題分析】
大問1…(1)2をかけていって一の桁の数が周期的になるよくある問題です。(2)どれだけ安くなったのかの値を出せば後はつるかめ算です。
どちらも基礎的な典型問題なので満点を狙いましょう。

大問2…(1)三角形と台形の面積の比を考えましょう。(2)AEを延長してチョウチョ型の比を使ったり三角形の面積の比など使って解きましょう。
この大問も基礎的な典型問題なので満点を狙いましょう。

大問3…(1)武蔵は理由を記述で問われることあります。簡単なことを聞かれてるので、しっかり論点を抑えて書きましょう。「偶数の玉が存在している」ので「少なくともどちらか一方に必ず入り」,「5と偶数の玉があれば積は10の倍数」となり0となる。この三つのことについて書かれていればよいと思います。(2)0でなければ偶数と5は同じ箱に入ってはいけなくなります。しかも偶数が4つもあるので、場合分けがそんなに発生しません。(3)こちらも0でない場合ばかりなので場合分けが少なくて、初見の問題で実験してやるタイプの問題と言ってもやりやすかったと思います。
満点をとりたい。

大問4…今回はこれを扱います。


(問題)R2 武蔵中学 大問4
選挙では,各候補者の得票数に小数点以下の数がついてる場合があります。この仕組みを例1を用いて説明します。①~④の4人の候補者について,投票用紙に姓名とも書かれている票の数を正規の得票数と言います。投票用紙に「田中」とだけ書かれていると①と③のどちらに投票したか不明です。また,「ともこ」とだけ書かれていると②,③,④の誰に投票したか不明です。そこで,「田中」だけの票が3票あったので,これを①と③の正規の得票数の比に分けて分配し,正規の得票数に足します。この操作を「按分」と言います。ただし,按分する票数は小数第2位を切り捨てます。①については,3×5/(5+6)=1.36…なので,1.3票を足して,按分後の得票数は6.3票になります。③についても,同様に計算して,「田中」の分で1.6票を足しますが,③は「ともこ」だけの3票についても按分しないといけません。つまり,3×6/(7+6+8)=0.85…なので,さらに0.8票を足して,按分後の得票数は8.4票となります。次の問に答えなさい。
musasi20m1.jpg
musasi20m2.jpg
(1)例1について,(ア)に入る数を求めなさい

(2)例2について,(イ)に入る数を求めなさい

(3)例2について,(ウ),(エ)に入る数をそれぞれ求めなさい。

[解説]
(1)簡単に答えます。
3×8/(7+6+8)=1.14…なので8+1.1=9.1

(2)この問題のポイントは按分すると小数点第2位を切り捨てられるところです。

例2の②は按分が1.5,④は1.2なので③はともこによる按分は全部で5票ぐらいなので5-1.5-1.2=2.3ということで
②は20票で按分1.5ということは③は2.3でいくらか?と勘でやっても求まるとは思います。

ここでは小数点第2位を切り捨てられたことによって,範囲を絞って答えになっているものを求めたいと思います。

②から按分する票数の小数点第2位を切り捨てる前の値は1.5以上1.6未満であります。
よって5×20/(20+(イ)+17)の値が1.5以上1.6未満より

(イ)は
5×20÷1.5-37=29+2/3以下
5×20÷1.6-37=25+1/2より大

なので(イ)=26,27,28,29のどれかに絞れました。

同様に④でもやってみると
5×17÷1.2-37=33+1/6以下
5×17÷1.3-37=28+5/13より大

なので(イ)=29,30,31,32

よって(イ)=29と決まります。

(3)同じように範囲を絞って①と③の田中の按分において①は1.6なので

(エ)×21/(21+29)の値が1.6以上,1.7未満より
(エ)の範囲を絞ると

1.6×(21+29)/21=3+17/21以上
1.7×(21+20)/21=4+1/21未満
なので(エ)=4と決まります。

したがって(ウ)は
ともこの按分…5×29/(20+29+17)=2.19… なので2.1
田中の按分…4×29/(21+29)=2.32より2.3

だから29+2.1+2.3=33.4
とわかりました。

他の大問が簡単ですぐに解けると思うので,この問題に時間は使えます。範囲を出すと大変なのではないかと、ためらっている時間があれば計算するように練習しておきましょう!(畠田)

雙葉中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は雙葉学園中学を扱います

【入試資料分析】
受験者数391人
合格者数118人
で倍率3.31となり例年よりも高くなりました。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題、確実にあわせたい。(2)消費税をネタとした基本的な比の問題。(3)一度はやったことあると思われる同じパターンが続く図形の問題です。大問1は満点狙いです。

大問2…少し面倒ですがカレンダーを書いて足していけば良いので正解したいです。

大問3…今回はこれを扱います。

大問4…群数列と倍数の融合問題です。(1)は計算としては2または3の倍数の個数を数えて取り除く簡単な問題です。(2)計算としては3の倍数をとりのぞけば良いですが、1グループと2グループには3がないことに注意です。(3)5,15,20,25,30と約分されないか整理して数えていけばよいですが,25は2回5で割れることに注意です。

大問5…(1)計算としては簡単ですが状況を理解するためにダイアグラムなどかいて整理して解きましょう。(2)Cで11分休み終わったときにちょうどバスがやってくるとすれば、そのバスはA地点をいつ出発すればよいか考える方法などあります。(3)難しいことは問われていませんが、複雑な状況を整理して答にいきつくのは難しいかもしれません。

(問題)R2 雙葉学園中学 大問3
図のように、正十角形の頂点を結び、正五角形をつくりました。
futaba20m1.jpg
(1)(あ)の角度は何度ですか。
(2)この正十角形の面積は470cm^2、正五角形の面積は380cm^2です。かげをつけた部分の面積は何cm^2ですか。

[解答]
(1)正十角形の一つの内角の大きさは180×(10-2)÷10=144°なので
(180-144)÷2=18°
とわかりました。

(2)まず簡単に思い浮かぶわかりそうな面積は
赤の三角形Aの面積
青の三角形Bの面積
hutaba_2020_kaisetu_m3-1.jpg
そして
A×2-B
で求められる緑の三角形Cの面積です

(1)で18°を求めさせられたのでこれを使うのではないかと三角形Cを作ってみると
残りの部分にオレンジの三角形Dが出来て、これは図のもう一つのオレンジの三角形と合同です。

ということは
(赤の三角形A)+(緑の三角形Cの半分)×2
で求められるので
470÷10+(470-380)÷5=47+18=65cm^2
と求まりました。

アプローチの仕方がわからないときは前の小問がヒントになっていることが多いので必ず考えてみるようにしましょう。そうすれば差をつけることが出来て合格間違いなしです!(畠田)

雙葉中学校 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は雙葉学園中学の理科を扱います

【問題分析】
大問1…手回し発電機の問題です。開成中学でも同じような問題がでました。ルールを理解すれば簡単なので読み間違えたり、ミスで点数を落としたくないところです。

大問2…腕の骨の本数など少し細かい知識が出題されました。基本的には読解で答えていけると思います。

大問3…化学分野の問題です。混ざらない液体では密度が軽い方が浮きます。問4は高校の範囲のセッケンを作る問題とは言え解き方は,普段の中和などの問題と同じです。今回は問3を扱います。

大問4…日食、月食の問題です。あまり知識問題というわけではなく、考えて解くことになります。図を描いて計算したり考えて解く練習をしておきましょう。

(問題)R2 雙葉学園中学 大問3問3
油は「脂肪酸」以外に「グリセリン」と呼ばれる部分からつくられています。グリセリンは下図のような構造をしており,脂肪酸が3か所で結びついています。
futaba20ri1.jpg
脂肪酸には様々な種類(ここではA,B,C,…とします)があり,例えば3つとも違う脂肪酸でできている油もあれば,2つが同じもので,もう1つがちがうものでできている油もあります。グリセリンにAとBを結びつけてできる油は何種類ありますか。ただし,3つとも同じ種類の脂肪酸を使ってもよいものとします。また(例)のように回転したときに同じ組み合わせになるものは,合わせて1つと数えることとします。

[解説]
算数の問題です。
非対称と対称にわけて考えると

対称なもの
AAA BAB ABA BBB
非対称なもの
AAB ABB
6種類になります。

これは内容としては高校化学の油脂の問題です。
CH2-O-COR
|
CH-O-COR’
|
CH2-O-COR”
解くためには算数の場合の数をやっていれば大丈夫なので焦らずに対応できるよう経験を積んでおきましょう!(畠田)

西大和学園中学校 入試分析 算数 2020(R2)

今回は西大和学園中学を扱います

【入試資料分析】
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子:1010人→541人(1.86倍) 325点
女子:209人→43人(4.86倍) 365点

今年は女子の合格最低点と倍率が例年より若干ゆるかったです。

【問題分析】
大問1…(1)(2)正統派な計算問題、必ずあわせたい。(3)簡単な仕事算、瞬殺したいです。(4)旅人算というほどでもない旅人算。(5)表に書いて整理で、特に関西の塾ならよく練習していると思います。(6)組み合わせと、完全順列を使いますが何も知らなくて数えあげればいいだけなので大して難しくありません。(7)フローチャートなどで求めましょう、よく練習していると思うので大丈夫だと思います。

大問2…(1)扇型と直角二等辺三角形を足したり引いたりしますが何となく求められると思います。(2)2つのブーメラン型を見つければすぐに出来るので、慣れている子も多いと思います。(3)何度もやらせてきた平行四辺形の比の問題です。(4)平均の高さで瞬殺です。大問2もスムーズに完答していきたい。

大問3…(1)今回はこれを扱います。(2)正四面体の4つの角を切り落とすと真ん中に正八面体が残るネタです。ハイレベルですが典型問題ですね。(3)TRとPCが平行なことに気付けばうまく解けますが、そんなこと考える人あればごり押しで長さを求めて力技で答えを出してしまいましょう。

大問4…見た感じは難しそう、複雑そうに見えますがそんなことはありません。大して場合分けも発生せずに逆にたどってみたりするだけなので満点を狙いたい。
ネタとしては箱は関数のことで逆関数の扱い方が背景にあります。
1:1の関係ならば逆の操作をすると数字は1つに決まりますが、そうでない場合は逆の操作をすると1つには決まらない場合があります。


(問題)R2 西大和学園中学 大問3(1)
①西さんは,紙に1,2,3,4,5,6,7と1から順に7つの数を書きました。このとき,7つの数の平均は[ あ ]です。大和くんが,その中の1つの数である[ い ]を消しゴムで消すと,残りの数の平均は3+1/2となりました。

②次に,西さんは,新しい紙に1,2,3,4,5,…と1から順に,[ う ]までの数を書きました。そして,大和くんが,その中の1つの数である[ え ]を消しゴムで消すと,残りの数の平均は32+1/3となりました。

[解説]
①は簡単に答えます。
7つの平均は(1+7)÷2=4
消した数は合計を考えて
4×7-(3+1/2)×6=7

②機械的に数式は立てられますが、数学の問題としても面倒になってしまいます。
そこで①が誘導になっていないかを考えてみると、7を消すと平均値が4から3.5にかわりました。

一番大きいものを消しても平均値は大してかわらないことがわかります。
つまり32+1/3はほとんど平均値が32から33の間くらいに収まると思われるので64,65,66付近であると予想できます。

本番なら答えが一つに決まるはずなので試してしまったらよいですが、ここではしっかり式を立て説明したいと思います。

[ う ]に入る数をAとおいて
一番平均値が小さくなるのは一番大きなAを取り除いて(1+A-1)/2=A/2
より32+1/3≧A/2から64+2/3≧A

一番平均値が大きくなるのは一番小さい1を取り除いて(A+2)/2
なので32+1/3≦(A+2)/2から62+2/3≦A
これよりA=63か64に絞れます。

更に平均値が32+1/3と分母が3の分数であるということから,合計をA-1で割って平均値になったのでA-1は3の倍数であることがわかります。

したがってA=64と決まります

消した数は合計を考えて
(1+64)÷2×64-(32+1/3)×63=43

とわかりました。

アプローチの仕方がわからないときは前の小問がヒントになっていることが多いので必ず考えてみるようにしましょう。そうすれば差をつけることが出来て合格間違いなしです!(畠田)

桜蔭中学校理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は桜蔭中学校の理科を取り上げます。

【問題分析】
大問1…環境の問題です、知識は問6の京都議定書やパリ協定ぐらいですが、基本的には読解です。リード文に書いてることをしっかり読み取って答える練習しましょう。

大問2…金属の密度の問題です。都市鉱山など一部、知識が難しいですが意味も計算もわかりやすくしっかり点数を固めたいです。

大問3…植物の問題です。問1のクヌギ・コナラが落葉樹、スギ・ヒノキが常緑樹などしっかり覚えましょう。問2の外来種はヨモギ、ツクシ、カラスノエンドウは外来種ではないと予想できるので消去法とか推測して選べるようにしておくことも大切です。問3は読解なので、これしか入らないであろうとか考えて答えを入れていきましょう。

大問4…モーメントの問題です。今回はこれを扱いたいと思います。

大問5…リード文に水が入った氷の方が早く溶けているということをヒントに考えると解くことができます。熱の伝導の問題です。
水に氷が浮かんでいたとすると、その氷が溶けても水面の高さはかわらないことをチェックしておいてください。北極の氷が溶けても水位はかわらないことが有名な話です。余裕あれば何故そうなるのかアルキメデスの原理を元に考えてみてください。

(問題)R2 桜蔭中学校・理科 大問4
長さ60cm,重さ15gの棒の端から30cmの位置にひもを結んでつり下げると、棒は水平になりました(図1)。この棒と,重さ45gの皿,重さ100gのおもり,分銅を使い,つぎの①~④の手順で「さおばかり」を作りました。あとの問いに答えなさい。ただし,ひもの重さは考えなくてよいものとします。
ouin20r1.jpg
【手順】
① 棒の左端に更を下げ,左端から15cmの位置にひもを結んで棒をつるす。
② 何も皿にのせず,棒が水平になる位置におもりを下げる。おもりの位置に「0g」の印を付ける(図2)。棒をつるすひもからおもりまでの長さをaとする。
③ 皿に10gの分銅をのせ,棒が水平になる位置におもりを下げる。おもりの位置に「10g」の印をつける。
④ 皿にのせる分銅を10g増やすごとに,おもりの位置に印をつける作業を繰り返し,棒の右端まで印を付ける。
ouin20r2.jpg
問1 aは何cmですか。

問2 10gごとの印の間隔は何cmですか。

問3 図3のように,重さ180gのものを皿にのせて棒を水平にしました。棒をつるすひもからおもりまでの長さbは何cmですか。
ouin20r3.jpg

問4 棒の右端までおもりを下げられるとすると,量れる重さは最大で何gですか。

問5 重さ150gのおもりを使い,同じ手順でさおばかりを作った場合,量れる重さは最大で何gですか。

問6 おもりの重さを変えると,さおばかりはどう変わるかを説明したつぎの文ア~カから,正しいものを2つ選び,記号で答えなさい。
ア. おもりの重さを変えると,0gの印の位置も,10gごとの印の間隔も変わる。
イ. おもりの重さを変えると,0gの印の位置は変わらず,10gごとの印の間隔は変わる。
ウ. おもりの重さを変えると,0gの印の位置は変わり,10gごとの印の間隔は変わらない。
エ. おもりの重さが100g増えると,量れる重さの最大値も100g増える。
カ. おもりの重さが100g増えると,量れる重さの最大値は300g増える。

[解説]
棒のひもがついてる位置の周りのモーメントを考えて

(皿と分銅の重さ)×(皿とひもの位置との距離)=(おもりの重さ)×a+(棒の重さ)×(30cm-15cm)

の式をたてていきます

問1は簡単に答えます。
45×15=100×a+15×15
これよりa=4.5cm

問2
このような10gごとの印の間隔を求める問題は式が左辺や右辺がどう変化したかを考えます。
(45+10)×15=100×a+15×15
左辺は前の問題と比べて10×15=150増えています。
ということはaは150÷100=1.5cm増えると良いことになります。

問3
180÷10=18より1.5cm×18移動させればよいので
b=4.5+1.5×18=31.5cm

問4
0gの状態から60-15-4.5=40.5cm移動した時なので
40.5÷1.5=27
で1.5cmずつ27回移動させたときなので27×10=270g

問5
重さ150gのおもりを一番右につるせばよいので
(45+☐)×15=150×(60-15)+15×15
☐=420gとわかりました

問6
まずア、イ、ウについては
100gのおもりで0gの時はおもり100gによるモーメントは100×4.5=450であってので
おもりが150gの時は450÷150=3cmとなるのでずれる。
分銅を10g増やすと,左辺は10×15=150増えたので,aは150÷150=1cm増やせばよいことになるので間隔もかわります。

エ、オ、カについては
おもりが100gから150gになると量れる重さの最大値は270から420に増えて1.5倍ではないので、おもりを2倍にしても量れる重さの最大値は2倍にはなりません。
おもりの重さを100g増えすと,量れる重さの最大値なのでおもりを一番右につるした場合を考えて右辺が100×(60-15)=4500増えます。
ということは左辺も4500増えるためには分銅を4500÷15=300g増やせばよいので最大値は300g増えます

よってアとカとわかりました。

基礎というわけではありませんが、発展的なタイプの典型問題です。やり方は決まっているのでしっかり勉強していけば点数をとりやすいので合格に近づきます!(畠田)

桜蔭中学校算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は桜蔭中学校の算数を取り上げます。

【入試資料分析】
受験者数532人
合格者数283人
補欠30人
実質倍率1.88
となっております。
ここ数年、合格者数は多めになっております

【問題分析】
大問1…(1)計算問題です、必ずあわせましょう。(2)軽減税率のコンビニのイートインコンをネタにしたような問題です。ただし内容は簡単な差集算です。(3)今回はこれを扱います。

大問2…(1)計算は基礎的な旅人算ですが問題文の読み取りがわかりにくいので注意です。(2)計算自体は簡単ですが勘違いやミスが多く起こりそうな問題です。(b)の②では上から見た図は一番下の段とその一つ上の段が影響することにも注意です。

大問3…(1)3:4:5を使います。(2)△AMBが底面,LNが高さです。(3)表面積を求めるのにALの長さが難しいですが結局3:4:5です。難しいわけではないですが、解けないと差をつけられてしまうので3:4:5を使いまくるであろうというアプローチに慣れておきたいところです。

大問4…(1)LCMセット法の問題です。分子は3と5のLCM15ごと,分母は4と3と5のLCM60ごとに1セットです。一般的に解けなくても全部書き下す勢いでやる力も必要です。(2)①不定方程式の問題です。サラっと解けるようにしておきたい。②は4で割った余りが影響するのは20gだけなのでまず単純に大きい方から足してみて3ずつ減らして調整しましょう。

(問題)R2 桜蔭中学校・算数 大問1(3)
まっすぐな道に柱を立ててロープを張り、そこにちょうちんをつるします。柱と柱の間は5m50cmで、ちょうちんとちょうちんの間は1m35cmです。1本目の柱から35cm離れたところに1個目のちょうちんをつるしました。ロープはたるまないものとし柱の幅は考えません。柱を10本立てて,ちょうちんをつるしました。
① ちょうちんは全部で[ ウ ]個使いました。また10本目の柱に1番近いちょうちんはその柱から[ エ ]cmのところにつるしました。
② 柱から35cm以内の部分につるしたちょうちんは,とりはずすことにしました。ただし1個目のちょうちんはとりはずしません。このとき,つるされたまま残っているちょうちんは[ オ ]個です。

[解説]
①は簡単に答えます。
{550×(10-1)-35}÷135=36余り55
なのでちょうちんは36+1=37本,10本目に一番近いのは55cmのところです。

②全部書いてしまうぐらいの計算力、処理能力もあっていいんですが、どういう風に考えればいいのかというと135で割った余りに注目します。
550÷135=4余り10
なので、ちょうちん4つごとに柱から10cmずれていきます。

ouin_2020_m1-3_kaisetu1.jpg

最初のちょうちんは最初の柱から35cm進んでいましたが1+4=5つめは2本目の柱より25cm進んでいます。
その次は15cm、その次は5cm
そしてその次は5cm足りなくなり、その次は15cm、その次は25cm、35cm,45cm、最後は55cmとなります。

よって7つのちょうちんがとりはずされるので37-7=30本とわかりました。

桜蔭の問題は処理系の問題も多いですが、全部書きくだす訓練も大切です。その上で余りで考える、LCMセット法で考えるなどやることで合格は近づきます!(畠田)

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