今回は慶應義塾中等部を扱います。
今年度は難しい問題も混ざっていたので、時間配分や、どのあたりで切り上げて次の問題にいくか立ち回りが難しそうだと思いました。
【問題分析】
大問１…(1)(2)は王道な計算問題、こういうのはあわせないといけない。(3)循環小数ですが、周期は6桁という少し長めなのが慶應中等部らしいです。(4)よくある場合の数です、瞬殺したい。
大問２…(1)基本的な通過算、瞬殺したい。(2)約数全部足す公式は使う学校そこそこあるので、覚えていてもよいと思います。(3)基本的な旅人算、瞬殺したい。(4)比の問題です、読み間違えないよう瞬殺したい。
大問３…(1)ベンツ切り(チェバの定理)の典型問題なので瞬殺できるように仕上げていきましょう。(2)基本的な平面図形の問題が流れている中、やったことないと時間内に解くのは厳しい問題が突然出ています。ツルを折るときのように折る問題です。知らなかったら飛ばす高い決断能力を求められています。(3)典型的な図形問題ですね。(4)難しそうに見えて意外と簡単です。3.14は最後にかけるようにすることを求められているだけです。
大問４…水の体積の問題。底面積は(高さ)÷(時間)の逆比になるやら典型的な解法だけですが、確実に早く合わせないといけないのでよく練習しておきましょう。
大問５…群数列の問題ですが、これはどうなのかって言うぐらい丸まま高校数学の問題です。(1)まず何群目に入るか、その次にその中で何番目か。(2)300は何群目の何番目か、群ごとに和をだして、それを足しあげる。解法をしっかり身につけておきましょう。
大問６…計算も処理も簡単ですが、特に(2)は問題文を読み取り、どう処理をしていいかの判断が難しめです。(1)は見えていないところを全部白にするか黒にするかぐらいではあります。(2)はつるかめ算で白と黒の個数をだして、表面に黒をおくときは場所に何面出てくるか違うことを読み取らないといけません。
大問７…今回はこの問題を扱います。
(問題)慶應義塾中等部 大問7
1個180円のシュークリームと、1個220円のプリンがあります。シュークリーム5個のセットだと800円で買え、プリン6個のセットだと1200円で買えます。さらに、シュークリームとプリン2個ずつのセットだと650円で買うことができます。例えば、シュークリームを5個買う場合、シュークリーム5個のセットで800円で買うこともできますし、1個180円のシュークリームを5個で900円で買うことも出来ます。次の[ ]に適当な数を入れなさい。
(1)5000円以内でプリンを少なくとも5個買うとき、シュークリームは最大[ ]個買えます。
(2)シュークリームとプリン合わせて50個買って、代金がちょうど10000円になるような買い方を考えます。この条件の下で、プリンをできるだけ多く買いたい太郎君は、プリンを[ア]個買いました。また、同じ条件の下で、シュークリームをできるだけ多く買いたい二郎君は、シュークリームを[イ]個買いました。
[解答]
(1)この大問の難しさは、どういう考え方の枠組みを作ったら良いかです。
それではまず条件を整理して、それぞれの買い方が1個当たり何円になっているかを見ていくと
まず単体では
シュークリーム単体1個180円
プリン単体1個220円
シュークリーム5個セットは1個当たり800÷5＝160円
プリン6個セットは1個当たり1200÷6＝200円
シュークリームとプリン2個ずつのセットは1個あたり650÷4＝162.5円、ただしプリンまたはシュークリームを1個欲しかったと考えると650÷2＝325円
どう組み合わせればよいか、これ以上は考えてもややこしくて頭痛くなりそうですが、
プリンを出来るだけ少なく5個以上買わないといけないことは確かです。
なのでプリンを出来るだけ少なく5個以上買う方法で場合分けしてみます。
○プリン単体で5個買う
○プリン6個セットを買う
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買う
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを2セットとプリン単体1個買う
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを1セットとプリン単体3個買う
の5つの場合に分けることができます。
○プリン単体で5個買ったとき
残りの金額は5000－220×5＝3900円
買えるシュークリームの個数はまずは1個当たりの安いシュークリーム5個セットを出来るだけ買って
3900÷800＝4余り700
残り700円は単体で買えばよくて700÷180＝3余り160円
よってシュークリームは5×4＋3＝23個買えます。
○プリン6個セットを買ったとき
残りの金額は5000－1200＝3800円
同様にして
3800÷800＝4余り600
600÷180＝3余り40円
よってシュークリームは23個。
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買ったとき
残りの金額は5000－650×3＝3050円
同様にして
3050÷800＝3余り650
650÷180＝3余り110
よってシュークリームは2×3＋5×3＋3＝24個
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを2セットとプリン単体1個買う
残りの金額は5000－650×2＝3700円
プリン単体1個を買って残りの金額は3700－220＝3480円
同様にして
3480÷800＝4余り280
280÷180＝1余り100
より買えたシュークリームの個数は
4＋5×4＋1＝25個
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを1セットとプリン単体3個買う
残りの金額は5000－650＝4350円
プリン単体3個を買って残りの金額は4350－220×3＝3690円
同様にして
3690÷800＝4余り490
490÷180＝2余り130
より買えたシュークリームの個数は
2＋5×4＋2＝24個
以上よりシュークリームは最大25個とわかりました。
(2)
[ア]
どう考えていくか難しいところですが
合計10000円だけでなく合計50個という条件もついています。
ちょうど10000円になるようにプリンを出来るだけ買うことを考えてもなかなか難しいです。
そこで関西の塾でよくやる、つるかめ算
プリン50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます。
○プリン50個買うと
プリンはシュークリームとプリン2個ずつのセットは使えないので単体220円，6個セットで1個当たり200円なので基本的に200円以上になります。
できるだけ安く買うと50÷6＝8あまり2より
(プリン6個セット)×8＋(プリン単体)×2＝10040円
○プリン49個買うと
出来るだけ安く買うには
(プリン6個セット)×8＋(プリン単体)×1＋(シュークリーム単体)×1＝10000円
とちょうど10000円になりました。
よってプリンを出来るだけ多く買うと49個とわかりました。
[イ]同じようにしてシュークリーム50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます、
○シュークリームを50個出来るだけ高く買ってもシュークリーム単体で50個買って
180×50＝9000円より1000円届かなくなります。
○シュークリーム49個買うと出来るだけ高くしても180×49＋220×1＝9040円
○シュークリーム48個買うと出来るだけ高くしても180×48＋220×2＝9080円
○シュークリーム47個買うと出来るだけ高くしても180×47＋220×3＝9120円
…
40円ずつ高くなるので10000円になるには1000÷40＝25
よりシュークリーム50－25＝25個の時に10000円になります。
これが26個以上であれば10000円に届かないので出来るだけ多くシュークリームを買うと25個とわかりました。
この問題はどう考えていけばいいか難しいですが、1個当たりの値段や、つるかめ算でやるような表を書いて規則性を考えたりなど使うことは典型の手法になります。まずはしっかり典型を解けるようにしておきましょう。(畠田)
