中学受験
渋谷教育学園渋谷中学 算数 問題解説＆入試分析★2020年(R2年)
今回は渋谷教育学園渋谷中学の第一回を扱います。
【入試資料分析】
第1回は男子の人数はかなり減りました。
倍率も全体的に低くなっています。
年々偏差値が上がっていっているので簡単になったというわけではないと思います。
受験者数
男子…125名
女子…251名
合計376名
合格者数
男子…41名
女子…80名
合計121名
倍率
男子…3.04倍
女子…3.12倍
全体で3.11倍
【問題分析】
大問１…(1)基本的な計算問題です、しっかりあわせましょう。(2)最初に意外とやりにくい問題がきました。答えは観で何となくわかりそうなので答えてしまってください。論理的には積は111111以下のはずと考えるなどやります。(3)非常に典型的な図形問題、素早く完答したいです。(4)食塩水の問題で、極端に難易度が低いので逆に注意してください。(5)この問題はしっかり範囲を考える必要があり、少し面倒です。(1)～(5)まで難易度がバラバラなので混乱しないよう時間配分に気をつけましょう。
大問２…今回はこの問題を扱います。
大問３…点字をネタにした場合分けの問題です。去年もマイナンバーなどの検査数字をネタにした問題があり，社会生活をテーマとした問題が出題されています。
難易度はそんなに高くありませんが、読解力が試されているので注意しておきましょう。
大問４…回転体の体積の問題です。渋渋の過去問でも結構出されいるので、しっかり練習して満点を狙いましょう。
(問題)R2 渋谷教育学園渋谷中学 算数 大問２
1辺の長さが4cmである正方形と，1辺の長さが6cmである正方形が1つずつあります。1つの角Aを共通になるように置き，正方形の他の頂点を図のように点B,C,D,E,F,Gとします。
点Pは最初，点Bにあり，秒速1cmで正方形ABCDの辺を
B→A→D→C→B→A→D→C→B→…
のように動き続けます。
点Qは最初，点Fにあり，秒速1cmで辺EFを
F→E→F→E→…
のように動き続けます。
点Pと点Qは同時に出発します。次の問いに答えなさい。
(1)点Pと点Qが，初めて両方とも最初と同じ位置になるのは，出発してから何秒後ですか。
(2)点Qから点Pに向かって限りなくのびる直線をかきます。この直線が正方形ABCDと正方形AEFGの面積を両方とも二等分するのは，出発してから10分間で何回ありますか。
(3)三角形CPQの面積が正方形AEFGの面積の半分になるのは，出発してから何秒後ですか。出発してから1分間のものをすべて答えなさい。ただし，解答欄はすべて使うとは限りません。また出発時は含めないものとします。
[解説]
(1)Pは16秒で1周，Qは12秒で1往復なので，16と12の最小公倍数を考えて48秒後です。
(2)
二等分するのはPがAまたはC,QがFの時です。
表より二等分されるのは何秒後かというと
12,36,60,…
で12が初項の公差24の等差数列となります。
よって10分では
(600－12)÷24＝24余り12より24＋1＝25回
(3)実際にはPやQが頂点についた時を調べていって考えてみましょう。
ここでは論理的な解説を書いたとすると
点Pを通りAEに垂直な直線と線分FGとの交点をRとすると三角形GPQの面積は
(線分PRの長さ)×6÷2
となります。
そして三角形GPQの面積が最大、つまり(線分PRの長さ)＝6cmが最大になると正方形AEFGの面積の半分である6×6÷2＝18cm^2となります。
ということは点Pが辺AB上にある必要があることがわかります。
すると次の二つの場合あることがわかります。
１、点Pが辺AB上で，点Qが点Fにある場合
２、点Pが辺点Aにある場合
それぞれ表より
4秒後，20秒後，36秒後，48秒後，52秒後
この問題は、動く点の問題でよく使う整理の仕方と、どのように移り変わっていくか実験してみて掴むことが必要です。ぜひPやQが各頂点にきたときを調べて移り変わりを追ってみてください。その上で，解説に書いたように論理的な考察もしてみてください。(畠田)
東大寺学園中学校 算数 2020(R2)入試分析
今回は東大寺中学を扱います。
【資料分析】
倍率は去年と変動はありませんでした
受験者数 791名→834名→894名→911名→884名→909名
合格者数 325名→347名→364名→373名→351名→361
実質倍率 2.43 →2.40 →2.46 →2.44→2.52→2.52
算数の受験者平均と合格者平均の差は17.6点とかなりあり、算数は差がつきやすいのでしっかりやるべきなことがわかります。
各教科の平均点は
(合格者平均 全体平均 満点)の順に
国語(61.8 56.6 100)
算数(69.5 51.9 100)
理科(73.6 66.5 100)
社会(69.7 65.3 100)
算数の受験者平均は
51.9点→62.4点→53.4点→53.8点→47.0点→51.9点
と推移していて低めとなりました。
【問題分析】
大問１…(1)素因数分解とか意識するタイプの計算問題です。(2)よくやったことあるような最大公約数の問題です。(3)微妙に工夫が必要な体積の問題です。満点狙いたいところです。
大問２…食塩水の問題です。よくやったことある問題だと思うのでしっかりあわせたいところです。連立方程式でごり押しでも何でもいいのであわせたいところです。
大問３…(1)円を動かす面積の問題です。①が②の誘導になっていて、アプローチの仕方が見えてきます。ぜひやって欲しいよく出来た問題です。
(2)普通の比の問題と見せかけて意外とわかりにくいです。文字を置いて方程式みたいにしたらいいですが、うまくやれば算数的に解けます。色々考えてみましょう。シンプルであるが意外と解けないという(1)(2)ともにさすが東大寺らしいよく出来た問題なので考察をしておきましょう。
大問４…今回はこの問題を解説します。
(問題)R2 東大寺学園中学校 算数 大問4
太郎君と花子さんが1,2,3,4,5,6の6種類の数字だけを並べて整数を作ります。ただし，同じ数字を何回用いてもよいとします。たとえば3けたの整数を作るときは222や353などの整数も作ることができます。太郎君の作る整数をA，花子さんの作る整数をBとするとき，次の問いに答えなさい。
(1)①2人とも2けたの整数を作るとき，B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
②2人とも2けたの整数を作るとき，B＝2×A＋1となるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
(2)2人とも3けたの整数を作るとき，B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
(3)2人とも5けたの整数を作るとき，B＝2×AとなるようなA,Bの組は何組あるか答えなさい。
[解説]
(1)①②まずは実際に書きくだしてみましょう。
①のB＝2×Aは11組
②のB＝2×A＋1は10組
とわかりました。
(2)
(1)で書きくだしていってみた結果
B＝2×Aでは一の位は1,2,3,6しか使えないことがわかります。
B＝2×A＋1では一の位は1,2,5,6しか使えないことがわかります。
ということは一の位で場合分けがポイントと予想できます。
一の位で場合分けして書きくだしていってみると
・一の位が1,2,3の時…2倍しても繰り上げが起こらないので十の位以上に影響を与えません。
だから百の位と十の位の2桁は(1)の①のB＝2×Aの2けたの並びということがわかります。
・一の位が6の時…2倍すると繰り上げが起こるので十の位は1大きくなります。
だから百の位と十の位の2桁は(2)の②のB＝2×A＋1の2けたの並びということがわかります。
よって11×3＋10＝43組とわかりました。
(3)同じように4桁の場合を作るには3桁のB＝2×A＋1が必要なので数え上げてみます。
・一の位が1,2の時…2倍しても繰り上げが起こらないので上から2桁はB＝2×Aの2桁の並びになります。
・一の位が5,6の時…2倍すると繰り上げ起こるので，B＝2×A＋1の2桁の並びということがわかります。
よって11×2＋10×2＝42組とわかりました。
同様にしていくと
4桁のB＝2×Aは43×3＋42＝171組
4桁のB＝2×A＋1は43×2＋42×2＝170組
5桁のB＝2×Aは171×3＋170＝683組
この問題は書き下していって規則性を見つけるということが出来るかを問われています。
よく考えられていて練習するのにも良い問題です。
このようなアプローチを練習しておくようにしておきましょう！(畠田)
開成中学校 理科 問題解説＆入試分析★2020年(R2年)
今回は開成中学の理科をとりあげます。
【入試資料分析】
受験者数は今年も例年通りでした。
理科は(合格者平均 全体平均 満点)の順に(56.0 48.1 70)
でした。
ここ数年では低めです。
【問題分析】
○大問１…天体の問題です。基礎をしっかりおさえていれば細かいところまでは問われませんが，問題文を読み取って答える力が求めれます。
○大問２…手回し発電機の問題です。今回はこの問5をこれを扱いたいと思います。
○大問３…溶解度の問題で基礎的な計算、知識しか求められていませんが表を読み取り、どうなるのか推論する力が必要です。
○大問４…植物の問題ですが植物の知識問題はなく、全てその場で読解して解く問題です。問題文も長く，表やグラフも多いので処理能力が求められます。印をつけて成長を調べる類題はあるので，しっかり練習しておきたいところです。
(問題)令和2年 開成中学校 理科 大問２
手回し発電機とはモーターに手回しハンドルを付けたもので，以下では，手回し発電機のハンドルの回転方向を，ハンドルの側から見て「時計回り」，「反時計回り」と表します。
はじめに，図1のように手回し発電機G1(以下ではG1と表します)と豆電球を接続します。ハンドルを時計回りに手で回転させると豆電球が点灯します。このとき，電流は黒いたんしから出て豆電球を通過して白いたんしに入ります。
次に，図2のようにG1のハンドルにはさわらずに，かん電池を接続すると，ハンドルは時計回りに回転します。
最後に，図6のようにG1とコンデンサーを接続し，G1のハンドルを時計回りにしばらくの間手で回転させ，ハンドルから手をはなします。
問５ 図6において下線部③の直後，G1のハンドルはどのようになりますか。正しいものを，次のア～オの中から一つ選び，記号で答えなさい。
ア すぐに回転が止まり，そのまま回転しない。
イ すぐに反時計回りに回転し始め，だんだん回転が速くなる。
ウ すぐに反時計回りに回転し始めるが，だんだん回転がおそくなる。
エ 時計回りに回転し続け，だんだん回転が速くなる。
オ 時計回りに回転し続けるが、だんだん回転がおそくなる。
[解説]
図1と図2からモーターはハンドルを時計回りに回すと黒いたんし側が電圧が高くなります。
またモーターの黒いたんしへ電流を流すとハンドルが時計回りするということがわかりました。
まずG1のハンドルを時計回りに回すと黒いたんしの方が電圧が高くなり黒いたんしからコンデンサーに向かって電流が流れます。
だからコンデンサーは充電されて黒いたんし側が＋極、白いたんし側が－極の電池になります。
ハンドルから手を放すとコンデンサーのG1の黒いたんしとつながっている側の電圧が高くなるのでコンデンサーから黒いたんしに向かって電流が流れます。
よってハンドルは時計回りに回ることがわかります、
しばらくすると、充電されたコンデンサーに蓄えられた電気が少なくなってきてだんだん回転が遅くなりオとわかります。
問題文にハンドルを回した時に流れる電流の方向と同じ方向に電流を流すとハンドルは逆に回ることは書いてありますが，何故そうなるのかも考えてみてください。
必要な知識は基礎的なものですが，開成らしく読解力と正確な処理が求められます。
がんばってください(畠田)
甲陽中学校 算数（2日目） 2020(R2)入試分析
甲陽学院中学算数2日目の問題をとりあげたいと思います。
1日目の記事に書いたように平均点は
54.0→56.3→61.4→53.1→47.5→54.3→58.3→40.3→50.4
とほぼ例年通りになりました。
【問題分析】
大問１…(1)は計算問題です。(イ)は(ア)を利用しろ言わんばかりです。(2)は9倍がほとんどの数が桁が大きくなったりなど、絞りやすいのできっちり合わせたいところです。
大問２…ベン図を描いて例えば3つもらった人をAとあらわすと他のところは全てAであらわせます。算数的な解法としては三つ出来るだけ重なった場合や，重ならなかった場合を考えればよいです。難しいわけではありませんが、ごり押しでできるので合わせておきたいところです。
大問３…距離が同じ場合は時間は速さの逆比になるということを使います。追いこしは差の速さを考えたいので，いったんT-U間を距離2倍で考えても良いと思います。T-U間の処理が少し複雑になるだけで旅人算の難易度としては低いので点数をとりましょう。
大問４…1×2×3×…×2020は下から0がいくつありますか？という問題と同じです。5で何回割り切れるかということをやっているという意味を考察しておく必要があります。
大問５…フラフープの問題です。ちょうど今年は灘でもフラフープの問題が出ました。きっちり練習して類題をやった状態に持っていきましょう。
大問６…今回はこれを解説します。
(問題)R2 甲陽学院中学校 算数（第2日） 大問6
底面の半径が3cm，高さが14cmの円柱があります。この円柱の下側の底面の円周上の点Aから，点Aの真上にある上側の底面の円周上の点Bまで，側面に糸をたるまないように巻き付けます。今，点Aから点Bまで，青い糸を上から見て時計回りにちょうど3周，赤い糸を上から見て反時計回りにちょうど4周，それぞれ巻き付けました。
(1)青い糸と赤い糸は何回交わりますか。ただし，2点A,Bは除きます。
(2)2点A,Bを除く，青い糸と赤い糸が交わった点に，高さの低い方から順に①,②,③,…と番号をつけます。そして①と③,②と④,③と⑤,…と，ひとつとばしの番号の点と点を，それぞれ側面上でもっとも短く，たるまないように青い糸で結びます。次に赤い糸をはずします。最後に側面上で青い糸で囲まれた部分に青い色をぬります。このとき色をぬった部分の面積を求めなさい。ただし，円周率は3.14とします。
[解説]
(1)青い糸と赤い糸の交点を次のように読みかえします。
足裏に青いインクをつけたアリと，足裏に赤いインクをつけたアリを考えてインクの跡が糸と考えます。
真上から見ると，青アリと赤アリは同じ地点から同時に青アリは時計回りに3周，赤アリは反時計回りに4周進んで、この2匹のアリが出会った点が交点に対応します。
よって出会った回数は3＋4－1＝6回
(2)このような糸の問題は展開するのがよくあるアプローチです。
青い糸はABを3等分した点を結んでいけばよいことになりますね。
この上から赤い糸を描いても考察してもいいですが，青アリと赤アリの出会あったから次の出会いまでの時間は一定です。
ということは青い糸と赤い糸の交点は青い糸を6+1＝7等分することになります。
青い糸の1周分の長さを[7]とすると交点は図のようになります。
よって緑の平行四辺形と緑の中の紫の斜線部の台形との比は高さは共通なので
(上底)＋(下底)の比を考えて
([7]＋[7]):(([1]＋[3])＋([2]＋[3]))=14:9
緑の平行四辺形の面積は
(2×3×3.14)×(14÷3)＝3.14×28 cm^2
よって紫の面積は緑の中のを2倍して
(3.14×28×9/14)×2＝113.04cm^2
この問題は似たような問題で使った解法は使えないか練習していくことで、アプローチが出来るようになっていくと思います。普段から試行をしてみて練習をしましょう。
がんばってください。(畠田)
x,yなど文字を置いて方程式や連立方程式をたてて解いたら減点されますか？
一般的には減点されませんが、学校によっては異なるかもしれませんので、学校に説明会などで問い合わせる（または塾が情報をまとめておいてくれていることもあります）
受験会場に下見に行った方がいいですか
一般的にはよいといえましょう。
志望校はどのように決めたらいいですか
生徒の学力、入学に必要な偏差値、大学進学実績、学校の校風、立地などを総合的に判断するとよいでしょう。
無理しても第一志望にすべきですか、安全な志望校に下げた方がいいですか
ご家庭の価値判断によります。チャレンジ精神と現実の均衡点をご家庭なりに探られるとよいでしょう。また、併願校によっても変りますね。
筑波大学附属駒場中学校 理科 問題解説＆入試分析★2020年(R2年)
今回は筑波大学附属駒場中学校の理科の問題を取り上げます。
【問題分析】
大問1…筑駒の定番の問題です。今回はこれを扱います。
大問2…モーターの問題です。簡単な問題なので落ち着いて素早く処理して満点狙いましょう。
大問3…あらゆる分野からの基本的な知識を問われています。単にワードを覚えるのではなく、そのワードが関連してることを覚えておきましょう。
大問4…昆虫の問題です。ナナホシテントウの頭と胸と腹の区別を覚えないといけないのではなくて3対の足がついてるのが胸ということから読み取れという考察が問われています。食べるエサも覚えていなくても，都会なのでテントウムシ見たことありませんという人も「春になると草むらの草の先たんなどによくナナホシテントウが見られる」いるというリード文である程度、アブラムシとわかります。
大問5…発芽条件の問題で，文章が長いですがサっと満点を狙いたいところです。光が影響する種類もあることを考慮するのを忘れないように。
大問6…溶解度を表から読み取り計算する基礎的な問題です。筑駒は時間が厳しいので素早く正確に解けるように練習しておきたいです。
大問7…熱と燃焼の問題です。簡単なので時間がなくてできなかったということは絶対にないようにしたいところです。
(問題)2020年度 筑波大学附属駒場中学校 理科 大問1
黒い積み木を10個、城井積み木をA,B,C,Dを1個ずつと板で作ったてんびんを用意した(図1)。いずれの積み木も底面の大きさが等しい直方体で、黒い積み木とAの重さを等しく、B、C、Dの重さはそれぞれAの2倍、3倍、4倍である。てんびんは中央に支点があり、左右5か所ずつ区切った場所に、支点から外に向かって①～⑤と番号をつけた。この場所に黒い積み木を置いて土台とし、その上に白い積み木を積むこととする。また、何も置いていないとき、板は水平のままであった。以下の分に続く後の各問いに答えなさい。
【操作1】黒い積み木を板に置いて土台を作る。次の(1),(2)の場合、板が水平のままとなる土台が何通りできるか調べた。ただし、左右を入れかえただけのものは同じ置き方とし、1通りと数える。
(1)板の左右に2個ずつ、4個とも違う番号に置いた(左右で同じ番号に置かない)場合
(2)板の左に2個、右に1個置いた場合
【操作2】操作1の(1)で板が水平のままとなる土台を、次のルールにしたがって4けたの数で表した。
黒い積み木を左の①と⑤、右の②と③に置いた場合、板の左はしから順に⑤①②③と並んだことになる。これを4けたの数5123(図2の上)と表す。3215(図2の下)も同じ置き方と考えるので、大きい方の5123をこの土台を表す数とする。
【操作3】操作1の(1)で板が水平のままとなる土台のうち、操作2で表した4けたの数が最も大きな土台を用意し、黒い積み木の上に白い積み木を積む。次の(3)、(4)の場合、板が水平のままとなる積み木が何通りあるか調べた。
(3)4個の黒い積み木の上に、白い積み木A～Dを1個ずつ積んだ場合
(4)4個の黒い積み木から選んだ3個の上に、白い積み木A、B、Cを1個ずつ積んだ場合
【操作4】操作3の(4)で板が水平のままとなる積み方では、黒い積み木が置かれていない場所が6か所ある。このすべてに黒い積み木を1個ずつ置いた後、板がどうなるか調べた。
１.操作1の(1)、(2)では、板が水平のままとなる土台はそれぞれ何通りできますか。
２.操作3で用意した土台を表す4けたの数を書きなさい。また、操作3の(3)、(4)では、板が水平のままとなる積み方はそれぞれ何通りありますか。
３.操作4の結果、どうなると考えられますか
ア 白い積み木の積み方によらず、板の左はしが下がる。
イ 白い積み木の積み方によらず、板は水平のままとなる。
ウ 白い積み木の積み方によらず、板の右はしが下がる。
エ 白い積み木の積み方によって、板の右はし、または左はしが下がるが、水平のままになることはない。
オ 白い積み木の積み方によって、板の右はし、または左はしが下がる。あるいは水平のままとなる。
[解説]
１.(1)黒い積み木は全て同じ重さです。
よってモーメントの大きさは番号に比例することになるので
(左の二つの番号の和)＝(右の二つの番号の和)
となればよくなります。
異なる4つの数字を使うので使わない数字は1つになりますが
5つの数字の和は1＋2＋3＋4＋5＝15の奇数なので、使わない数字を取り除くと和は偶数である必要があるので使わない数字は奇数となります。
1を使わないとき 和は(15－1)÷2＝7で 2＋5＝3＋4
3を使わないとき 和は(15－3)÷2＝6で 1＋5＝2＋4
5を使わないとき 和は(15－5)÷2＝5で 1＋4＝2＋3
の3通り
(2)
(左の二つの番号の和)＝(右の一つの番号)
となればよくなります。
左の二つの番号の和は小さくて1＋2＝3なので
3＝1＋2
4＝1＋3
5＝1＋4,2＋3
の4通りとわかります。
２.4けたの数が最もおおきな土台は(1)より5234
(3)白い積み木の重いさの比はA:B:C:D＝1:2:3:4です。
5×☐＋2×☐＝3×☐＋4×☐
の☐に1,2,3,4を1つずつ入れる方法になります。
2×☐は偶数、4×☐は偶数なので
5×☐と3×☐の偶奇は一致しないといけません。
3と5は奇数なので3×☐と☐の偶奇は一致，5×☐と☐の偶奇は一致するので
5×(偶数) 3×(偶数)
または
5×(奇数) 3×(奇数)
の場合に限られることになります。
○5×(偶数) 3×(偶数)の時
5×[2]＋2×☐＝3×[4]＋4×☐は5×[2]＋2×[3]＝3×[4]＋4×[1]
5×[4]＋2×☐＝3×[2]＋4×☐は無理
○5×(奇数) 3×(奇数)の時
5×[1]＋2×☐＝3×[3]＋4×☐は無理
5×[3]＋2×☐＝3×[1]＋4×☐は5×[3]＋2×[2]＝3×[1]＋4×[4]
の2通りとわかりました
(4)5×☐＋2×☐＝3×☐＋4×☐の☐に0,1,2,3を1つずつ入れる方法になります。
同様にして
○5×(偶数) 3×(偶数)の時
5×[0]＋2×☐＝3×[2]＋4×☐は無理
5×[2]＋2×☐＝3×[0]＋4×☐は5×[2]＋2×[1]＝3×[0]＋4×[3]
○5×(奇数) 3×(奇数)の時
5×[1]＋2×☐＝3×[3]＋4×☐は5×[1]＋2×[2]＝3×[3]＋4×[0]
5×[3]＋2×☐＝3×[1]＋4×☐は無理
で2通りとわかります。
３.左の⑤と②、右の③と④に乗せてる積み木によるモーメントの和は左と右で同じになっています。
そして5＋2＝3＋4＝7より黒い積み木が置かれていない場所によるモーメントの和は番号の和を考えて左も右も15－7＝8となるので白い積み木の積み方によらずに、板は水平のままとなります。
筑駒の理科ではてこの問題で何通りあるかという問題が定番ですが，早く解けるようにすることが重要です。
そのためには整理の仕方の練習をして奇数や偶数を考えるなどして場合分けを少なくしたりなど出来るようになっておくことも有効です。
がんばってください(畠田)
筑波大学附属駒場中学校 算数 問題解説＆入試分析★2020年(R2年)
今回は筑波大学附属駒場中学校の問題を取り上げます。
【入試資料分析】
受験者数563人で合格者130人の倍率4.33倍
去年よりさがりましたが例年並です。
筑駒では最高点と最低点しか発表されていません。
算数、国語、理科、社会、調査書、各100点ずつの500点満点で最高403点、最低340点
例年通りと言ったところです。
今年の問題も具体的にやってみてから規則性を発見する筑駒のよくある問題でしたが，数学の方程式を使うと楽な問題も多かったと思います。
文字を使った式くらいは慣れておいてよいと思います。
【問題分析】
大問１…一次不定方程式の問題です。表を使って解くなど(1),(2)は瞬殺できたと思いますが(3)はX,Y,Zを3個ずつ足して50の倍数にするなど時間内に解くには工夫があった方が良いです。
大問2…試していくうちに，異なる3つの数では各桁に2回ずつ出るので合計数は(各桁の数)×222,2つ同じ数で1つ異なるの数では(各桁の数)×111と法則性に気付いていきます。
ただ，その法則性は数学的にもわかりやすくいので大して問題になりませんが(3)の整理の仕方が十の位と一の位の数の組み合わせで100マスを考えるかなど，この処理に筑駒らしさがあったように思います。
大問3…タクシーの料金といういかにも算数らしい問題ですが，距離に関する料金は切り上げ，時間に関する料金は切り捨てを混ぜてきて複雑になっています。筑駒らしい問題です。
大問4…(イ)＝(ア)＋(差),(ウ)＝(ア)＋(差)×2,(エ)＝(ア)+(差)×3。(ア)＋(イ)＋(ウ)＋(エ)=1×2の方程式でごり押しでわかってしまいます。今回はこの(3)をあつかいたいと思います。
(問題)2020年度 筑波大学附属駒場中学校 算数 大問4
図1のように，長方形ABCDにおいて，辺ABの長さ2m，辺ADの長さが1mです。この長方形の内側に点Pを，4つの三角形PAB，PBC，PCD，PDAの面積がすべて異なるようにとりあす。4つの三角形を，面積の小さい順に(ア)，(イ)，(ウ)、(エ)としたところ，三角形PABが(ア)となり，(ア)と(イ)，(イ)と(ウ)，(ウ)と(エ)の面積の差がすべて等しくなりました。次の問いに答えなさい。
(1)(ア)の面積が1/6m^2のとき，(エ)の面積を求めなさい。
(2)点Pが図2の位置にあるとき，三角形PDAが(イ)です。また図2で，点Qは辺AD上，点Rは直線PQ上にあり，PQとADは垂直です。さらに，斜線で示した図形DRAPの面積は，(ア)と(イ)の面積の差に等しく，1/6m^2です。このとき，QRの長さを求めなさい。
(3)点Pとして考えられるすべての位置を解答欄の長方形ABCDの内側にかきなさい。ただし，(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)の面積はすべて異なるので，図3の点線部分は答えに含まれません。
[解説]
(3)
まず△PAB＋△PDCと△PAD＋△PBCはどちらも平行四辺形の半分の面積1×2÷2=1m^2です。よって△PAB=(ア)が最小なので△PDCが最大となり(エ)とわかります。
(イ)と(ウ)はそれぞれ△PADと△PBCのどちらかとなります。
このような軌跡の問題は極端な場合を考えると軌跡が予想できます。
まず(ア)を最大にすると(ア)＝(イ)＝(ウ)＝(エ)なので点Pは長方形ABCDの対角線の交点である中心になります。
(ア)と(イ)，(イ)と(ウ)，(ウ)と(エ)の面積の差をAとすると
そして(ア)を最小にした面積が0の場合は面積が(イ)＝A，(ウ)＝A×2，(エ)＝A×3となればよいです。
実際にA＝(長方形)÷6＝1/3となればできます。
このとき(イ):(ウ)＝1:2より点Pは辺AB上を1:2または2:1の点となります。
長方形の中心と、この2つの点をそれぞれ直線で繋ぐと答えはわかります。
本当に直線で良いのかどうかを考えると点Pを辺ADに平行に辺ABに向かって[1]進めると
(ア)の面積は[1]×2÷2＝[1]減り，(エ)の面積は[1]増えます。
よって(ア)と(エ)の差は[2]増えます。
(イ)＝(ア)＋A，(ウ)＝(ア)＋A×2，(エ)＝(ア)＋A×3
よりAは[2]÷3＝[2/3]増えます。
(イ)は(ア)が[1]減り，Aが[2/3]増えるから(イ)は[1]－[2/3]＝[1/3]減ります。
△PADが(イ)とすると辺ADを底辺とすると高さは[1/3]×2÷1＝[2/3]減ります。
ということは点PはABに向かってADに平行に[1]動かすと，ABに平行にADに向かって[2/3]動かせばよくなります。
1:2/3=3:2より対角線の中心から下に3進めて左に2進む直線と，下に3進めて右に2進む直線ということがわかりました。
もし数学的にやるとすると
(ア)の高さをy，(イ)の高さをxとすると
(ア)＝2×y÷2＝y，(イ)＝1×x÷2=x/2
で(イ)－(ア)＝x/2－yなので(ウ)＝x/2＋(x/2－y)＝x－y
(エ)＝x－y＋(x/2－y)＝x×3/2－y×2
(ア)＋(エ)＝1×2÷2からy+x×3/2－y×2＝1よりy＝x×3/2-1
となります。
文字の扱いに慣れている人はこれでごり押しでやっても大丈夫だと思います。
この問題は極端な場合を考えて答えをまず予想するということ，動かしてみて変化を考えることなどアプローチの仕方が勉強になります。
もし算数的に綺麗に解けなくてもごり押しで解くことも大切です。
がんばってください。(畠田)
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