数理教育研究会

入試問題解説

【YouTube動画】灘・甲陽 分析 2021年度

2021年度灘・甲陽入試分析をアップしました

西大和学園中学校 入試分析 算数 2021(R3)

今回は西大和学園中学を扱います

【入試資料分析】
受験者→合格者(倍率) 合格最低点
男子:1047人→476人(2.2倍) 345点
女子:245人→70人(3.50倍) 363点

今年は女子の合格者が例年より多めの年になりました。

【問題分析】
大問1…基本的な問題であり、早く正確に答えて満点をとりたい。

(1)(2)計算問題、確実に合わせたい。

(3)5で何回割り切れるかということで、0が何個続くかの問題の応用。

(4)基本的な比の問題。

(5)濃度の問題、特に問題ないはず。

(6)(距離の比)は(速さの比)×(時間の比)など利用する旅人算。

大問2…(1)等積変形で扇形にできる。わかりやすい。

(2)…(あ)=∠BCA+∠PCH-∠PCA。難関校で出題されることが多く、点数をとりたい。

(3)高さを求めないといけないので、合同な三角形などがあって高さがわかるのではない
かと言う難関校で出題されやすいパターン。

(4)三角すいは立方体から切り落とし、四角すいは(3)でやっている。
数式になってきて、ここまでこれば実際には√2の問題。

大問3…(1)整数を並べる場合の数の問題。問題文がわかりにくく、訂正も多くて出ていて間違えそうなので下手に時間使わないように気を付けたい。

(2)大学受験などでもよくある典型的なタイルの漸化式の問題。
(n枚の場合)=(n-1枚の場合)+(n-2枚の場合)×2
瞬殺したいところ。

(3)∠BACの2等分線と直線BDの交点をPとすると対称性から△ABPと△ACPは合同で
△CPDも合同な三角形ができる。恐らく正方形の中に1辺を共有する正三角形を書いた図形が元ネタと思われ、難しい問題は知られている図形の一部を出すことが多く、対称性を利用することで解けることがよくある。

大問4…今回はこれを扱いたいと思います。

(問題)R2 西大和学園中学 大問4
まっすぐな道を何台かの機械が同じ速さで同じ向きに30mの距離を空けて進んでいます。機械にはセンサーがついていて2秒ごとに前の機械との距離を測定し、30mより近づいたり離れたりした場合は、測定したときの前の機械の速さを基準にして、測定してからちょうど2秒後に距離が30mになっているようにみずからの速さを調整します。

機械が速さを変えるのは、前の機械との距離を測定して速さを決めるときだけで、測定が行われて、速さが決まれば、次の測定までの2秒間はその速さを変えることなく進みます。先頭の機械は測定を行いません。

また、後ろの機械が前の機械との距離を測定するのは、前の機械が速さを変えてから1秒後となるように、前の機械が速さを変える時刻と後ろの機械が測定する時刻をずらしています。

例として、下の図のように機械Aと機械Bが同じ向きにどちらも秒速20mで進んでいるときを考えます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に秒速15mに速さを変えると、その1秒後に、機械Aと機械Bとの距離は25mとなります。機械Bはその距離と機械Aが秒速15mで進んでいることを測定して、測定してから2秒後に機械Aとの距離がちょうど30mになっているように、秒速12.5mに速さを調整します。

ただし、機械Bが測定した1秒後に機械Aの速さが変わるかもしれないので、機械Bが測定した2秒後に2つの機械の距離がちょうど30mになっているとは限りません。

なお、機械の大きさ、測定するためにかかる時間、速さを変えるためにかかる時間は考えないものとします。

(1)上の例において、機械Bが速さを調整した1秒後に機械Aが再び速さを秒速20mに変えたとき、機械Aが最初に速さを変えてから3秒後について考えます。このとき、次の問いに答えなさい。

①機械Aと機械Bとの距離は何mですか。

②機械Bは秒速何mに速さを調整しますか。

後ろの機械が、前の機械に近づきすぎて、速さを変えても2秒後に30mの距離を空けられない場合は、その場で2秒間停止します。2秒後に前の機械との距離が30m以上であれば再び進み始め、30m未満であれば30m以上になるまで、2秒間停止を繰り返すようになっています。

(2)機械Aと機械Bが30mの距離を空けて、同じ向きに秒速20mの速さで進んでいます。秒速20mで進んでいた機械Aが、ある時刻に速さを秒速5mに変えると、機械Bは機械Aが速さを変えてから1秒後に停止しました。機械Aは最初に速さを変えてから4秒後に今度は秒速15mに速さを変えました。このとき、次の問いに答えなさい。

①機械Bが再び動き出すのは機械Aが最初に速さを変えてから何秒後ですか。

②機械Bが再び動き出すときの機械Bの速さは秒速何mですか。

(3)この機械がたくさん連なって、秒速20mで進んでいます。それぞれの機械と機械の間の距離は30mです。秒速20mで進んでいた先頭の機械が、ちょうど地点Pを通過したときに、秒速14mに速さを変えたところ、何台目か以降の機械が停止しました。
このとき、次の問いに答えなさい。ただし、先頭の機械は秒速14mに変えて以降、速さを変えないものとします。

①最初に停止する機械は、先頭の機械から数えて、何台目ですか。また、その停止した地点は地点Pから何m手前ですか。

②最初に停止した機械が地点Pを通過するのは、先頭の機械が地点Pを通過してから何秒後ですか。

[解説]
ひたすらに複雑です。
まず問題文を理解するということと、どのように処理して変化をあらわしていくのかが難しいところです。

そこでダイアグラムを描いてみることをここではやってみます。
ダイアグラムを描くことで問題文を把握できつつ、変化を表していくことが出来ます。

(1)

まず1秒後まではAは15m/秒で進い、Bは20m/秒で進むと1秒後にAとBは
30-(20-15)=25m
離れていることになります。

するとBは2秒間で30-25=5m距離を開けないといけないのでAよりも5÷2=2.5m/秒遅くなります。
15-2.5=12.5m/秒

しかしAは2秒後に20m/秒になるので20-15=5m距離をはなすことになり
3秒後のAとBの距離は30+5=35mとなります。

するとBは2秒間で35-30=5m距離を詰めないとけないのでAよりも
5÷2=2.5m/秒速くなります。
Bの速さは2+2.5=22.5m/秒となります。

(2)同じようにダイアグラムで整理していくと

1秒後にはAとBの距離は30-20+5=15m
3秒後にはBが止まっていても15+5×2=25mしかAとBは離れていないのでBは停止となります。
そして25mは30mより小さいので5秒後まで停止し続けます

4秒後にはAは15m/秒になるので5秒後にAとBは25+5+15=45m離れていることになります。
よってBは2秒間で45-30=15m距離をつめないといけないのでAよりも15÷2=7.5m/秒速くなります。
15+7.5=22.5m/秒

(3)同様にしてダイアグラムを描いていくと図のようになります。

 

最初に停止する機械は紫の前から4台目で停止した地点は地点Pから30m手前。

図より紫が地点Pを通過するのは5秒後から7秒後の間の19.75m/秒で進むときなので
5+30÷19.75=515/79秒後

基礎的な問題から難関校でよく出題されるという問題が多く、勉強をよくしてきた人にとっては大問4以外では取り組みやすい問題ではあったと思います。
大問4でも練習量で整理の仕方などに差がついてくると思います。
しっかり難関校で出されやすい問題を練習しておくことが安定した点数につなっていきます。頑張ってください(畠田)

開成中学校 理科 問題解説&入試分析★2021年(R3年)

今回は開成中学理科を取り扱いたいと思います。

前回の記事でも書いたように平均点は
(合格者平均 全体平均 満点)の順に
理科(54.1 49.7 70)でした。

低めの水準ではありました。

大問1~3はしっかり開成対策をしていればほぼ満点近くいけると思われますが物理分野の大問4で差がついたと思われます。

【問題分析】

○大問1…化学分野の問題。Ⅰはかなり基本的な水溶液の知識の確認。開成で求められるのはこの程度であることも多い。Ⅱは実験器具の扱い方で、開成でもよく出るので難しくはないがしっかり確認して満点をとりたい。

○大問2…地学分野の問題。Ⅰは月の問題であるが満月の高度は太陽と逆になることは過去問でも問われているのでしっかり過去問やっておきたい。Ⅱは川の問題であるが、ほとんど読み取りで何とかなる開成らしい問題。時事問題も確認しておきたい。

○大問3…生物分野の問題。ほとんど知識が必要なく、読み取りと考察で解ける開成らしい問題。過去問で練習して満点を狙いたい。

○大問4…物理分野の問題。問1と問2までは典型題なので満点を狙いたい。今回は問3、問4、問5を扱いたいと思います。

(問題)令和2年 開成中学校 理科 大問4 問3 問4 問5
厚さ一定の変形しない板(横80cm×縦50cm)から図6のような形を切り取りました。図7は切り取られて残った部分を表しています。なお、板の大きさがわかりやすいように、縦横10cmごとに破線が描かれています。また、板をつるしている糸はすべて同じ長さであるとします。

問3 切り取った板を図8のように60cmの棒に、両端の位置が揃うように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには、図中の[ エ ]の長さをいくらにすればよいでしょうか。なお、板を図9のように10cmごとに切って棒に取り付けても、棒を水平に保つために支える位置は同じになります。

問4 切り取られて残った部分を図10のように80cmの棒に、両端の位置が揃うように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには、図中の[ オ ]の長さをいくらにすればよいでしょうか。なお、切り取られる前の板の重心は、板の中心になります。

 

問5 図11のように厚さが一定の半径30cmの円板の板から半径10cmの円形の板が切り取られて残った部分があります。この板を図のように60cmの棒に、2つの円の中心を結んだ線と棒が平行になるように、板が棒の幅にちょうどおさまるように取り付けました。このとき、棒が水平に保たれるためには、図中の[ カ ]の長さをいくらにすればよいでしょうか。

[解説]
問3 問題文の最後にヒントが書いています。

『なお、板を図9のように10cmごとに切って棒に取り付けても、棒を水平に保つために支える位置は同じになります』

さらに前半の問題文を省略していますが

『このように、一見複雑で重心の位置がわかりにくいものも、うまく分けてその部分ごとに重心を求めることで、全体の重心を求めることができます。』

とも書いています。

これらの誘導に乗ると図9において6つの短冊のそれぞれの重心はそれぞれの糸がついてるところで考えればよく
上の糸は正方形の板15個分を持ち上げているはずなので
棒の左端の点の周りのモーメントを考えて[ エ ]を求めることができあす。

6つの短冊の糸は左から
5cm 15cm 25cm 35cm 45cm 55cm
のところにあります。

よって
2×5+3×15+1×25+4×35+3×45+2×55=15×[ エ ]
より
[ エ ]=31cm
とわかります。

問4
正方形をそれぞれ上に詰めていって左から
5個 3個 2個 4個 1個 2個 3個 5個
の短冊がぶら下がっていると考えても左右の重心の位置はかわりません。

だから同様にして左端の点の周りのモーメントを考えて
5×5+3×15+2×25+4×35+1×45+2×55+3×65+5×75=25×[ オ ]

[ オ ]=39.4cm

問5
高校でよくある出題される典型問題です。
半径10cmの円形と網目部の板
を合体させると
半径30cmの円形の板になる
ことを使います。

(半径10cmの円形の板):(半径30cmの円形の板):(網目部の板)
=1×1:3×3:(3×3-1)
=1:9:8

半径10cmの円形の板の重心は左端から20cm
半径30cmの円形の板の重心は左端から30cmで

左端の点の周りのモーメントを考えて

1×20+8×[ カ ]=9×30
より
[ カ ]=31.25cm

 

最初にも書いたように大問1~3が開成対策をしていればほぼ満点を狙いやすかったのに対して、大問4で差がついたように思います。
それでも問2まで答えれば合格点です。
まず問2までは確保してから、高校物理で扱うようなモーメントを練習しておけばアドバンテージになります(畠田)

開成中学校 算数 問題解説&入試分析★2021年(R3年)

今回は開成中学をとりあげます。

【入試資料分析】
今年はコロナが影響したのか受験者数は近年で一番少なくなりました。
確実に合格するところを受ける人が多かったと思われます。

受験者数1051人,合格者398人,倍率2.06

算数の合格者平均は例年程度であったと思います。

合格者平均217.9点
各教科の平均点は
(合格者平均 全体平均 満点)の順に
国語(58.0 49.1 85)
算数(55.8 45.8 85)
理科(54.1 49.7 70)
社会(49.9 45.9 70)

【問題分析】
○大問1…(1)基本的な日暦算。うるう年のルールも書いていて計算も複雑ではない。敢えてこのような基本が大切であるとメッセージ性のある問題を出すところが開成なのかもしれません。
(2)交点の個数を数える問題。規則性を利用してやりやすい問題であったと思います。
(3)正六角形の問題。正六角形を分割する標準的な問題です。
(4)、(1)~(3)まで基礎的な問題を出しておいて突然ハードな問題。今回はこれを扱いたいと思います。

大問2…(1)さすがに外せない問題。(2)意外と難しい。三角錐と断頭三角錐を4つ取り除く方法などある。(3)こちらも断頭三角錐を4つ取り除く方法などがある。断頭三角錐には救われることが多いのでしっかり練習しておきたい。

大問3…文章を読み取って問題を把握するのが結構大変。(1)(2)(3)くらいまでは正解しておきたい。(4)や(5)は2進法の計算と同じであることに気づけば答えがすぐに出る。

 

(問題)令和2年 開成中学校 算数 大問1(4)
1/9998を小数で表すとき。小数第48位の数、小数第56位の数、小数第96位の数をそれぞれ求めなさい。

[解説]
まず実際に割り算をおこなってみて規則性を考えてみることが基本です。

筆算を次のように書いていきます。
1=9998×0.0001+0.0002
0.0002=9998×0.00000002+0.00000004
0.00000004=9998×0.000000000004+0.0000000000000008

と続けていくことになります。
常に両辺が2/10000倍ずつになっています。

だから
1=9998×(0.0001+0.00000002)+0.00000004
=9998×(0.0001+0.00000002+0.00000004)+0.0000000000000008

となるので商は
0.0001+0.00000002+0.00000004+…
となっていきます。

2/10000倍ずつして足していくことになります。

ということは
小数第48位は48÷4=12より
2を12-1=11回かけると2048で、小数第48位は2048の一の位の8となります。

小数第56位は56÷4=14より
2を14-11=13回かけると8192になります。

2を14回かけると16384で5桁となるので今回は後ろからも影響を受けます。

小数第56位は

81920000+16384=81936384より万の位の3となります。

小数第96位は96÷4=24より
2を24-1=23回かけると8388608
2を24回かけると16777216で8桁
2を25回かけると33554432で8桁

で今回は後ろ2つから影響をうけます。

よって小数第96位は
838860800000000+167772160000+33554432
=839028605714432
より億の位の6となります。

後ろの影響を受けることには注意しないといけません。

(※この問題は数学的には
初項0.0001、公比0.0002の無限等比級数
0.0001+0.0001×0.0002+0.0001×0.0002^2+…=0.0001/(1-0.0002)
=1/9998
と関係があります。)

 

今年の問題は簡単な問題と難しい問題が極端にわかれました。
まず基本的な問題は絶対に落とせません。
そして読み取りや規則性などで点数を確保していけば合格点に近づきます!(畠田)

 

東大寺学園中学校 算数 2021(R3)入試分析

今回は東大寺中学を扱いたいと思います。

【資料分析】
今年は合格者が多く、倍率は低くなりました。

受験者数 791名→834名→894名→911名→884名→909名→869名
合格者数 325名→347名→364名→373名→351名→361→402名
実質倍率 2.43 →2.40 →2.46 →2.44→2.52→2.52→2.16

各教科の平均点は
(合格者平均 全体平均 満点)の順に
国語(66.1 61.2 100)
算数(67.8 52.7 100)
理科(69.5 61.5 100)
社会(73.3 69.3 100)

算数の受験者平均は
51.9点→62.4点→53.4点→53.8点→47.0点→51.9点→52.7点
と推移していて若干低めではありました。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題。43×47=2021のネタが使われていますね。(2)標準的な比の問題。あわせましょう。(3)小立方体を集めて作られた立方体を切って、切られた小立方体の個数を数える問題。かなり典型的なのであわせたい。
よくやったことあるような最大公約数の問題です。(3)微妙に工夫が必要な体積の問題です。満点狙いたいところです。

大問2…(1)集合算。マイナスにならないようにパターンは限られるという難関校でよくある典型的な問題でしっかり勉強してあわせたい。
(2)5が少なくとも一枚あると位置の位は5になり3は偶数枚に限られる。
5を使わないときもいけるのは忘れないように注意しないといけない。

大問3…△GCE+△AEDと△GABは、両方に△GBCを足してあると等しいとわかる。典型的な解法なのでしっかり勉強しておいて点数を確保したい

大問4…棒が伸び縮みする旅人算の問題。今回はこれを扱います。

(問題)R3 東大寺学園中学校 算数 大問4
一定の割合で伸び縮みをくりかえす棒PQがあります。最短の長さは10cmで、そこから1秒間に2cmの割合で最長の長さが14cmまで長くなり、そこから同じく1秒間に2cmの割合で最短の長さ10cmまで短くなり、これをずっとくりかえします。下の【図1】は時間と棒PQの長さとの関係を表したものです。

さて、この棒PQがPを左端、Qを右端として、直線上を左から右に、棒の右端Qの速さが一定であるように動いているものとします(【図2】)。棒の左端Pが直線上の点Oと重なったとき棒PQの長さは10cmとなっており、この瞬間にストップウォッチを押して経過時間を計測しました(【図3】)。たとえば経過時間が30秒の瞬間を単に「時刻30秒」ということにします。また、図の点Aは点Oから右に45cm離れた点とします。


(1)棒の左端Pが停止する時間帯があるとき、棒の右端Qの速さは毎秒何cmですか。

(2)棒の右端Qが毎秒5cmで動くとき、棒の左端Pが点Aに重なる時刻を答えなさい。

(3)棒の左端Pが点Oに「時刻0秒」以外にちょうど2回重なるとき、棒の右端Qの速さは毎秒何cmですか。また、棒の左端Pは点Aと何回重なりますか。

(4)「時刻0秒」に点Oを出発し右に一定の速さで動く点Rが、棒の左端Pと「時刻0秒」以外にちょうど6回重なりました。その6回の中で、棒の左端Pと点Rが3回目に重なった時刻での棒PQの長さと、4回目に重なった時刻での棒PQの長さをそれぞれ求めなさい。

[解説]
(1)棒は1秒で4÷2=2cmずつ伸びたり縮んだりするのでQが2cm/秒で進めば伸びている間は停止することになります。

(2)点Aが毎秒5cmで左に動くと考えても同じです。


ダイアグラムを描くと図のようになります。

次のはPとAが重なるところを拡大した図です。

点Aは-4のところに49÷5=9.8秒でつきます。
だから1:0.2=5:1なので点Aと点Pが重なるには
8+2×5/(5+1)=29/3秒
となります。

(3)点Oが左に動くと考えると点Oが図のダイアグラムの青線のように動くときです。


6秒で4cm動くので2/3cm/秒です。

点Aが左に3/2cm/秒で動くと45÷2/3=67.5、49÷2/3=73.5で

図のダイアグラムより3回

(4)点Rが左に動くと考えて

点Rは図の青線のように動けばよい。
3回目は赤の三角形の相似比は1:1より2cm伸びてるときなので10+2=12cm
4回目は緑の三角形の相似火は2:1より4×2/(2+1)=8/3cm伸びてるときなので10+8/3=38/3cm

難関校で出されるタイプの典型問題が多かったようです。
典型問題はしっかりと練習しておいて点数を固めておくことで、合格可能性の底上げをすることができます、頑張りましょう!(畠田)

洛南高等学校附属中学校 算数 2021(R3)入試分析

今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。

【入試資料分析】
倍率例年通りでした。
やはり女子の難易度が高いです。

受験者数→合格者数(実質倍率)
男子:530人→219人(2.42倍)
女子:263人→81人(3.25倍)
専願の合格者最低点は男子で236点,女子で276点
併願は男女295点。

合格者平均点は
国語:3科型で106.8 4科型で109.4
算数:3科型で107.4 4科型で95.5
理科:3科型で77.5 4科型で72.3
社会:4科型のみで78.5
総合:3科型で291.7 4科型で280.5

算数は昨年はかなり平均点が高くなりましたが今年は例年程度の平均点に戻りました。
洛南らしい面白い問題も出題されています。

 

【問題分析】

大問1…計算問題です。2021=43×47のネタはやはりあります。満点とりたい。

大問2…(1)割り切れる整数の個数の問題。総和なので(平均値)×(個数)も使える。あわせよう、

(2)不定方程式の問題、定番ですね。瞬殺したい。

(3)虫食い算。2021×(エオカキ)=3969244でだいたい4000000より少し小さいと考えると(エオカキ)の上2桁は19と絞れていきます。
あわせておきたい。

(4)二等辺三角形と言うよりは△DAC≡△BAEがポイント。そんなに難しくなくても意外と見落としそうです。

(5)例えば△EBCを上に平行移動してBCをADにくっつけて平行四辺形に等積変形すれば底辺12cm、高さ6cmとわかる。処理は簡単でも意外とわかりにくかったと思われる。

(6)定番の小立方体をあつめてペンキを塗る問題。瞬殺したい。

大問3…標準的な2点が移動する問題。得点確保したい。

大問4…濃度の問題であるが、面積図や天びん法などではなく、食塩水の重さは食塩の重さの定数倍になっていることを利用する面白い問題。
良い比の問題なのでぜひやってみて欲しい。

大問5…操作の問題。周期性がある。定番の方法を組み合わせると良いので勉強した人にとって点数は稼ぎやすい。

大問6…難関校では定番で何度か出されているような問題です。今回はこれを扱いたいと思います。

 

それでは問題を見ていきましょう!

(問題)R3 洛南高等学校附属中学校 算数 大問6
1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺EF,FG,GH,HEの真ん中の点をそれぞれI,J,K,Lとし、2直線IKとJLとの交点をMとします。このとき、次の体積はそれぞれ何cm³ですか。
(1)四角すいA-GKMJ

(2)2つの四角すいA-GKMJとC-EIMLの重なる部分

(3)2つの四角すいC-EIMLとD-FJMIの重なる部分

(4)立方体から4つの四角すいA-GKMJ,B-HLMK,C-EIML,D-FJMIをのぞいた後に残る部分

[解説]
(1)3×3×6÷3=18cm³

(2)面AEFBの方向から見ると図のようになります。

 

 

よって地面から0cm,2cm,3cmの高さで地面と平行な面で切った断面をそれぞれ考えます。

○高さ3cm

図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。

○高さ2cm

図のようにA-GKMJとC-EIMLの断面はどちらも黒い斜線部の1辺の長さ2cmの正方形

○高さ0cm

図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。

よって図のように1辺の長さ2cmの正方形を底面とした高さ1cmの四角すいと高さ2cmの四角すいを合体させた立体になるので体積は
2×2×(2+1)÷3=4cm³

(3)
同様に地面から0cm,2cm,3cmの高さで地面と平行な面で切った断面をそれぞれ考えます。

○高さ3cm

 

C-EIMLの断面は赤い正方形、D-FJMIの断面は青い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は3/2cmの黒の1辺

○高さ2cm

図のようにA-GKMJとC-EIMLの断面はどちらも黒い斜線部の1辺の長さ2cmの正方形

○高さ0cm

図のようにA-GKMJの断面は青い正方形、C-EIMLの断面は赤い正方形になるので
2つの正方形が共有している部分は1点のみ。

よって図のように断頭三角柱を2つ合体させた立体になるので体積は

2×1÷2×(3/2+2+2)/3+2×2÷2×(3+2+2)/3=13/2cm³

(4)
(2)のA-GKMJとC-EIMLの重なる部分の立体は
(3)のC-EIMLとD-FJMIの重なる部分の立体の中に含まれる。

よって

A-GKMJを赤、B-HLMKを青、C-EIMLを紫、D-FJMIを緑としてベン図を描くと次のようになります。

13/2-4=5/2
18-4-5/2×2=9

よって赤または青または紫または緑の部分の体積は
9×4+5/2×4+4=50

求める体積は
6×6×6-50=166cm³

※ベン図を4つの円で描くと全てのパターンは出てこなくて描けない。
楕円を使うなど一般的に描ける方法は存在する。

 

今年の洛南はいくつか面白い問題もありつつ。しっかり対策すれば点数は確保できる問題もそれなりにありました。まずは難関校でよく出題される定石は固めて点数を確保しておきましょう!(畠田)

甲陽中学校 算数(2日目) 2021(R3)入試分析

甲陽学院中学算数2日目の問題をとりあげます。

1日目の記事で書いたように2日目の平均点はここ数年では一番高くなりました。

高い得点率での勝負になります。

【問題分析】
大問1…(1)基本的な場合の数。あわせたい。(2)正誤問題です、倍数の基本的な内容なのであわせたい。

大問2…これ以上約分できない分数の総和の問題。(1)(平均値)×(個数)で素早く求めたい。(2)色々な解法があると思いますが1,2,3,…,12のうち12と互いに素なのは1,5,7,11の4つなので区間が1大きくなると4ずつ大きくなっていくなど方法があります。

大問3…直方体の切断。かなり普通の問題なのできっちりあわせたい。

大問4…平面図形の相似などを利用した標準的な面積の問題。あわせたい。

大問5…旅人算の問題。今回はこれを扱います。

大問6…普通の8進法の問題。瞬殺したい。

それでは大問5にいきます。

(問題)R3 甲陽学院中学校 算数(第2日) 大問5
太郎君と次郎君が午前7時に家を出発し、歩いて公園に向かいました。太郎君の歩く速さは次郎君の歩く速さの1.2倍です。午前7時44分に忘れ物に気づいた太郎君は走って家に戻る途中、A地点で次郎君とすれちがいました。午前8時8分に家に着いた太郎君はすぐに公園に向かい同じ速さで走り出しました。その後、太郎君がふたたびA地点に来たとき、次郎君はその2975m先にいました。
(1)太郎君が次郎君とすれちがった時刻は午前何時何分何秒ですか。

(2)太郎君の走る速さは分速何mですか

[解説]
(1)
まず状況図を描いてみます。

太郎君と次郎君の歩く速さの比は1.2:1=6:5

また太郎君は家から折り返し地点まで歩いて
7時44分-7時=44分
折り返し地点から家まで走って
8時8分-7時44分=24分
より道のりが同じ時、速さの比は時間の逆比になるので
太郎君の歩く速さと走る速さの比は24:44=6:11

同じ時間では道のりは速さに比例するので太郎君が○から☐まで進んだ距離を⑥とすると次郎君が○から☐のところまで進んだ距離は⑤

⑥を太郎君は歩くと44分かかる
走っている太郎君と次郎君が向かい合って進んで⑥-⑤=①の距離を進んですれ違うのにかかる時間は
(太郎君の歩く速さ):(太郎君の走る速さ+次郎君の歩く速さ)=6:(11+5)=3:8
より
44×1/6×3/8=11/4
したがってすれ違った時刻は
7時44分+11/4分=7時46分45秒

(2)

×から△まで8時8分-7時46分45秒=85/4分
よって×から☆までは85/4×2=85/2分かかる

次郎君は2975mを85/2分で進むので太郎君の走る速さは
2975÷85/2×11/5=143m/分

状況図を描いて甲陽らしい流れではありましたが、ダイアグラムを描いても機械的に解けます。困ったときはダイアグラムを描いても良いと思います。
標準的な問題は多かったですが、甲陽で出題されそうな問題ではありました。
だからしっかり対策をして点数をとって合格に近づきましょう!(畠田)

甲陽中学校 算数(1日目) 2021(R3)入試分析

甲陽学院中学算数1日目の問題をとりあげます。

【入試資料分析】
受験者数 389名→363名→350名→349名→317名→382名→369名→402名→393名→383名→380名
合格者数 218名→216名→219名→219名→215名→220名→219名→222名→220名→217名→215
実質倍率 1.78倍→1.68倍→1.60倍→1.59倍→1.47倍→1.74倍→1.68倍→1.81倍→1.79倍→1.76倍→1.77倍
例年程度の倍率となりました

各科目の得点情報は算数1日目は例年程度の易しさ、2日目はここ数年では一番高くなりました。
その影響により算数の合計得点の平均点も高くなっています。

受験者平均
国語① 64.9→49.4→63.1→62.0→56.5→53.6→55.2→56.9→63.3→53.9
国語② 59.9→59.0→69.5→49.3→60.7→59.7→52.8→60.8→64.5→55.1
算数① 56.0→49.8→60.3→62.1→58.3→58.9→62.1→63.8→60.7→61.9
算数② 54.0→56.3→61.4→53.1→47.5→54.3→58.3→40.3→50.4→63.2
理科  54.7→52.1→67.9→53.7→59.8→56.9→47.9→62.8→53.9→52.1
合格者平均
国語 132.0→114.9→138.1→117.7→125.4→119.9→117.1→125.2→133.5→116.2
算数 128.6→122.6→138.3→127.2→119.0→130.5→141.4→122.6→129.0→143.8
理科 58.8→58.1→71.7→57.1→59.8→60.6→53.3→67.6→58.6→56.4

算数の(①の平均点)+(②の平均点)は
110.0→106.1→121.7→115.2→105.8→113.2→120.4→104.1→111.1→125.1
これと合格者平均との差は
18.6→20.5→16.6→12→13.2→17.3→21→18.5→18→18.7

例年程度に差のつく試験であったと言えます。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題。2021=43×47ネタはやはり出ていきます。(2)二等辺三角形を利用していく角度の問題で、典型的な問題の少し応用程度です。

大問2…仕事算の典型題。素早く完答したい。

大問3…正射影する問題。今回は(2)を扱います。

大問4…甲陽でよく出題される整数を数える問題。(2)は3種類の数字どの組み合わせも12個というアプローチをとることができると早く解ける。

大問5…平面図形の問題。特別難しいわけではないような難関校レベルでの標準的な図形問題を練習しておけば特に問題はない。

大問6…旅人算。甲陽なので高度な解法が必要と見せかけて、情報を整理すると一つ一つ求まり意外と簡単な方法しか使わない。

それでは大問3(2)にいきましょう。
正射影するところがポイントです。

(問題)R3 甲陽学院中学校 算数(第1日) 大問3(2)
図のような、立方体の各辺の真ん中の点を結んで出来た立体Xがあります。


(2)BN:NE=1:2となるように辺BE上に点Nをとります。点Nを通り、面BCFに平行な平面で立体Xを切断するとき、立体Xの断面積は面BCFの面積の何倍ですか。

 

[解説]
これは面BCFを含む平面に正射影して考える定番の方法があります。
面BCFに垂直な方向で見るわけです。

正八面体である面に垂直に見ると正六角形になるという解法がありますが、同じように考えてくれたらよいです。

すると面BCFに垂直な方向で見ると立方体であった部分は図の破線部の正六角形になります。

そして青で囲まれた部分が立体Xの断面になります。

この面BCFに垂直な方向で見た図における2つの赤い三角形は合同になっているので
BC=③
とすると
AE=③
であり
BN:BE=1:(1+2)=1:3よりMN=①となります。


ということは断面は図のように1辺の長さ⑤の正三角形から1辺の長さ①の正三角形を三つ取り除けばよいので
(5×5-1×1×3)÷(3×3)=22/9倍とわかりました

解法が思いつかなさそうな難しい問題などは特にはありませんでしたが思ってたほど平均点は高くなりませんでした。しっかり対策して普通の問題をばっちり解けるようにすればそれだけ報われて合格者平均をこえることができる試験であったと思います!がんばってください!(畠田)

灘中学校 算数(2日目)2021(R3)入試分析

灘中学校の算数2日目をとりあげたいと思います。

1日目の記事に書いてるように2日目の平均点は例年程度の高めのラインでした。
しかし目新しい問題はなく過去問や難関校の類題ばかりであったことを考えると、もう少し平均点高くて良かったんじゃないかと個人的には思います。
それもコロナの影響なのかもしれないし、もしかすると問題の読み間違えが多かったこともあったのかもしれません。


【問題分析】
大問1…濃度の問題。濃度としての高度な問題というわけでもなく、何回ずつとるかという整数問題が絡んでいます。思ったよりも当たり前な答えになるので逆に戸惑ったかもしれません。

大問2…パスカルの三角形の問題。灘や難関校でやり尽くされた問題で、よく練習している子は瞬殺であったと思います。

大問3…平面図形の問題。正六角形をネタとした標準的な解法の問題で、完答しておきたい。

大問4…灘でよく出る操作の問題。過去問で練習していれば、簡単であったと思います。しかし、あまり練習していなければ、意図が分からずに最初の9つの空欄を埋めるところで玉砕したかもしれません。

大問5…立体の切断の問題。典型問題なので練習している人は瞬殺できたと思います。わかりやすく誘導もされています。今回はこの問題の(2)を扱いたいと思います。


(問題)R3 灘中学校 算数第2日 大問5
図1は、1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHです。この立方体の面EFGHは水平な地面についています。
この立方体から、図2の斜線部分の正方形を底面とし、高さが6cmの直方体をくりぬきます。次に、図3の斜線部分の正方形を底面とし、高さが1cmの直方体をくりぬきます。さらに、図4の斜線部分の正方形を底面とし、高さが1cmの直方体をくりぬきます。このようにしてできる図5の立体をPとします。

(1)立体Pの体積は[   ]cm³です。

(2)立体Pを、頂点A,C,Fを通る平面で切って2つの立体に分けたとき、頂点Bを含む方の立体をQとします。

(ア)右の図は、立方体の面EFGHから5cmの高さにある平面で立体Qを切ったときの真上から見た切り口を書き入れたものです。その平面と面AEFBの交わりを太線で表しています。立方体の面EFGHから4cm,3cm,2cmの高さにある平面で立体Qを切ったときの真上から見た切り口を、右の図にならってそれぞれかき入れなさい。

(イ)立体Qのうち,面EFGHから2cmの高さになる平面と面EFGHとではさまれた部分の立体の体積を求めなさい。

[解説]
(1)省略
(2)

(ア)で高さ4cm,3cm,2cmの切り口を書かされています。
これが誘導になっています。

同じように高さ6cm,5cm,4cm,3cm,2cm,1cm全部書いてみます。

1cm×1cm×1cmの小立方体の集合であると考えると、切り口の図は各層の小立方体が並べられていると考えることができます。

すると小立方体何個分か?という問題になります。

小立方体は何個切断されますか?と言う問題と同じように考えます。

青のラインが小立方体の上面、赤のラインが小立方体の下面です。

すると青のラインで小立方体を切断すると1/6個分が残ります。

赤のラインで小立方体を切断すると5/6分が残ります。

なので立体Qのうち面EFGHから2cmの高さになる平面と面EFGHとではさまれた部分の立体の体積は小立方体が
高さ2cmでは青のライン2個、赤のライン1個
高さ1cmでは青のライン1個
なので
1/6×3+5/6=4/3個分より
4/3cm³
とわかります。

Qの体積は小立方体が全部で
ラインが通っていないもの16個
青のライン7個
赤のライン7個
より
16+(1/6+5/6)×7=23個分より
23cm³とわかりました。


誘導も丁寧でどうやって解くのかわからないという問題はありませんでした。しかし平均点は思ったよりも高くなかったので、しっかり過去問で練習しておいてください。まずは過去問です。過去問を研究しつくしましょう(畠田)

灘中学校 算数(1日目)2021(R3)入試分析 PART2

今回は前回の灘中学校の算数1日目の問題の二問目です。

整数問題です。
問題自体の難易度は高くはありませんが、灘らしい問題ではあるのでしっかり練習しておきたい問題です。


(問題)R3 灘中学校 算数第1日 大問7
Xは3桁の整数で、どの2つの位の数も異なります。Xを7倍すると4桁の整数ABCDを作ることができ、A>B,B>C,C>D,D>0となりました。このとき、Xは[   ]です。

[解説]
整数問題のよくある処理としては
○候補を絞る。
○シラミツブシにする
です。

まずXは3桁の整数なので7倍した4桁の整数には範囲があります。
X<1000
より
7×X<7000
です。

だからAは6以下になります。
しかもA>B>C>D>0です。
Aは4以上でないとB,C,Dが存在しません。
この条件を満たす4桁の整数を全てかくと

6543
6542
6541
6532
6531
6521
6432
6431
6421
6321
5432
5431
5421
5321
4321
の15個になります。
上から順に調べて
6531÷7=933
6321÷7=903
と見つかりました。

穴埋めなので1つ見つければオッケーですね。


灘でよく出題されるテーマの問題はしっかり出ています。高い平均点での戦いになるので過去問や類題などしっかり練習しておいて合格に近づいていきましょう!(畠田)

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