数理教育研究会

入試問題解説

麻布中学校 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は麻布中学校の理科を取り上げます。

【問題分析】
大問1…動物の誕生の問題です。問2ではうなぎの幼生レプトセファルスを知ってるかなど、わりとマニアックな知識は問われています。しかしリード文を読めば海流に乗って移動すると書いているなど、基本的には問1以外は読解力を問われています。
この問題は養殖のウナギは河口にやってきたシラスウナギを捕まえているので結局ウナギは減少する、養殖で育てて放流しても養殖ではほとんど全てオスになるので卵を産むウナギはほとんどできないことなど勉強になります。

大問2…バターを使ったパイ、パウンドケーキ、クッキーがどのようにして膨らむのかなどの問題で内容は化学です。リード文に生クリームは絞った牛乳の表面に浮かび上がってくる、水分を少なくして現れた固体がバター、バターには15%の水分が含まれていることなど書いているのでそれらを使って解いていくことになり、読解力が必要です。
この問3を扱いと思います。

大問3…光の問題です。長いリード文を読みフェルマーの定理を理解して考えて解いていくことになります。この問8も扱いたいと思います。

大問4…大地の変化の問題です。これも長いリード文を読みとり、考えて解いていくことになります。風化には物理的風化、化学的風化などがあり、読み取って答えていきます。風化には気候を一定に保とうするはたらきがあることも面白いです。

(問題)2020年度 麻布中学校 理科 大問2の問3
小麦粉には主にデンプンとタンパク質が含まれています。小麦粉と水を混ぜてパイ生地を作ると、タンパク質どうしはつながってグルテンと呼ばれるやわらかく弾力のあるものに変わります。グルテンはそのまま焼くとかたくなります。このグルテンを含んだパイ生地にバターをはさむと、図1のようにパイ生地が2層になります。これらを二つ折りにすると、図2のように内側の生地どうしはくっついてしまうので、パイ生地は3層になり、図3のように三つ折りにするとパイ生地は4層になります。このようにバターをはさんだパイ生地を、平らに伸ばしてから再び織り込むことを何度か繰り返して、200℃~220℃の高温で素早く焼き上げると、たくさんのうすい層を持つパイができあがります。
azabu2020r1.jpg

(1)図1のパイ生地を2回三つ折りするとパイ生地の層は何層になりますか。
(2)図1のパイ生地を5回三つ折りするとパイ生地の層は何層になりなすか。

[解説]
(1)
azabu_2020_kaisetu_rikam3-1.jpg
図のように2つの赤い矢印のところで生地がくっついて2層減ります。
4×3-2=10層

(2)同様にして考えると
3回で10×3-2=28層
4回で28×3-2=82層
5回で82×3-2=244層
とわかりました。

(問題)2020年度 麻布中学校 理科 大問2の問3
17世紀後半にフェルマーは、光の進み方に「二点間を進む光は、考えられる経路のうち、進むのにかかる時間が最も短い経路を通る」という決まりがあるのではないかと考えました。たとえば、光源から出た光は真っすぐに進むという性質がありますが、フェルマーの考え方を用いれば、光がこのような性質をもつのは、真っすぐ進む方が遠回りして進むよりも、かかる時間が短いからであると説明できるのです。

光が曲がって進む現象は、宇宙でも観測されることがあり、太陽などの重い星の近くを通過するときは、光が曲がることが知られています。この原因を、次のように単純化して考えてみましょう。図8は、四隅が固定された軽いテーブルクロスが空中に張られた様子を真上から見たものです。このテーブルクロスの上に球を静かに置くと、図9のように、球の周辺部分のテーブルクロスが伸びてたわみました。ここで、置く球をさらに重いものに交換した後、アリがテーブルクロスの上を、図8の点Pから点Qに向かって、途中で速くなったり遅くなったりせずに、決まった速さで進む場合について考えます。
azabu2020r2.jpg

問8 テーブルクロスの上に置かれた球がとても重いとき、点Pを出発したアリは、図8に示した経路のうちのどれを通ったときに、点Qまで到達する時間が最も短くなると考えられますか。ア~エから1つ選び、記号で答えなさい。

[解説]
azaburi4.jpg
PとQを直線で結ぶと赤い直線のようになります。
これは最短経路になります。

azabu_2020_kaisetu_rikam3-2.jpg
よって図のようにテーブルクロスに書き込むと赤い線が光の経路でとなります。

このたわみのないテーブルクロス(座標)が三次元空間の観測者にとっての位置関係で自分たちは自分たちのいる空間が曲がっていると感じませんが、
一つ次元の高い四次元空間の神視点の観測者にとっては、たわみのあるテーブルクロスのように曲がっているように見えます。

歪みは一つ次元が大きい空間でしか表現できないので、前上から見る(正射影する)という言葉で次元を一つ落として、テーブルクロスがたわんでいない三次元の空間を表現しています。

ちなみにこの星Qにいる人から星Pを見た場合は,星PはP’の位置に見えます。

(畠田)

麻布中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は麻布中学校の問題を取り上げます。

【入試資料分析】
去年に続いて倍率が高めになりました

出願者数 1016名
合格者数 383名
倍率2.65
最高点 151/200
最低点 110/200
配点は国語60点算数60点理科40点社会40点

【問題分析】
大問1…比の問題です。差を考えたら☐が消えるので比をあわせられるという文章問題の計算でよくある問題です。しっかり取りましょう。

大問2…(1)90°の扇形から直角二等辺三角形を引きます。これは確実におさえましょう。(2)工夫が必要です。下にも円を描いて4等分の直線を伸ばしたりなどすれば見えてきやすいかもしれません。考えてみてください。

大問3…(1)場合の数の典型です。瞬殺してください。(2)3で割った余りをグループ分けすると余り1のグループ1と4,余り2のグループ2と5、余り0のグループ3と6で偶数と奇数が1個ずつですね。ぜひやってみてください。シンプルですが思考が必要なうまい問題です。
大問4…食塩の問題です。天びん法で特に迷いなく解けます。これは確実にとりたい。

大問5…やはり麻布は正六角形の問題をだしてきます。円と正三角形のマスの直線との接点に注目してください。
1/6の場所を考えて6倍すればよいので丁寧にかけばそれほど難しくないと思います。

大問6…麻布お決まりの最後の重い問題です。これを扱います。

(問題)2020年度 麻布中学校 算数 大問4
周の長さが1mの円があります。図1のように,この円の周上を点Aは反時計回りに,点Bは時計回りにそれぞれ一定の速さで動きます。点Aと点Bは地点Pから同時に動き始め,2点が同時に点Pに戻ったら止まります。以下の問いに答えなさい。
azabu20m1.jpg

(1)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比が3:5のとき,点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに,2点P以外で何回すれ違いますか。

(2)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比がア:イのとき,点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに,2点は地点P以外で14回すれ違いました。このとき,ア:イとして考えらえるものをすべて,できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。ただし,点Aよりも点Bの方が速く動くものとします。また,解答らんはすべて使うとは限りません。

次に,周の長さが1mの円を図2のように2つ組み合わせます。これらの円の周上を,点Aと点Bはそれぞれ一定の速さで次のように動きます。
・点Aは5つの地点P,Q,R,S,Tを,P→Q→R→P→S→T→Pの順に通りながら,繰り返し8の字を描くように動く。
・点Bは5つの地点P,Q,R,S,Tを,P→T→S→P→R→Q→Pの順に通りながら,繰り返し8の字を描くように動く。

azabu20m2.jpg

点Aと点Bは地点Pから同時に動き始め,2点が同時に地点Pに戻ったとき止まります。以下の問いに答えなさい。

(3)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比が3:8のとき,点Aと点Bが同時に地点Pに戻ってとmなるまでに,2点A,Bが動いた道のりは合計何mですか。また,2点は地点P以外で何回すれ違いますか。

(4)点Aの動く速さと点Bの動く速さの比がウ:エのとき,点Aと点Bが同時に地点Pに戻って止まるまでに,2点は地点P以外で6回すれ違いました。点Aよりも点Bの方が速く動くものとすると,ウ:エとして考えられるものは9通りあります。これらをすべて,できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。

[解説]
(1)と(2)は簡単に答えます。

(1)Aが3周するとBは5周するので3+5-1=7回

(2)アとイの比をもっとも簡単な整数であらわしたものをA,Bとおくと
AとBは互いに素でA<Bなので
A+B=14+1=15より
(A,B)=(1,14),(2,13),(4,11),(7,8)
(何故互いの素な場合なのか考えてみてください)

(3)
まずは実験してみましょう。
azabu_2020_kaisetu_m6-1.jpg
3:8なので3+8=11より円1周分の長さを[11]とします。
1回目のすれ違いは二人の進んだ距離の和は円2周分です。
この時Aの進んだ距離は[22]×3/11=[6],Bの進んだ距離は[22]×8/11=[16]
となります。

azabu_2020_kaisetu_m6-2.jpg
次に2回目のすれ違いは同じようにAをさらに[6]進ませて[6]+[6]=[12]なのでPから[1]進めたところです。Bは[16]+[16]=[32]進んでいます。

するとAを[6]進ませていって点を打っていけばよいことがわかります。

azabu_2020_kaisetu_m6-3.jpg
二人が同時に点Pにつく3+8=11周分、つまりAが[11]×11×3/11=[33]進めたところまで考えればいいので打っていくと

5回目のすれ違い[30]から次は[3]進んで[33]となります。

azabu_2020_kaisetu_m6-4.jpg
何故最後だけ円1周分なのかと言うと,点Pは重なっている点なので直前のすれ違いから二人の進んだ距離の和が円1周分で点Pに戻ることがあるわけです。

以上のことより答えを求めるだけの計算としてはAは円3周分進むとBは円8周分進むので3+8=11
2+2+2+2+2+1=11より2が5つで5回となります。

(4) (3)についてもう少し考えると11は奇数でしたがAとBの速さの比が3:7の場合なら3+7=10で偶数です。
このときは全部円2周分ずつで点Pに到達します。

まとめるとAとBの速さの比を最も簡単な整数であらわしたときに
和が奇数であれば二人の進んだ距離の和が円2周ごとにすれ違い最後は円1周分で同時にPに到達
和が偶数であれば二人の進んだ距離の和が円2周ごとにすれ違い最後も円2周分で同時にPに到達

○二人の進んだ距離の和が円2+2+2+2+2+2+1=13周分となるとき
AとBは互いに素でA<BとしてA+B=13に注意して
(A,B)=(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)

○二人の進んだ距離の和が円2+2+2+2+2+2+2=14周分となるとき
同様にして
(A,B)=(1,13),(3,11),(5,9)

となります。

麻布の最後の問題は具体的にやってみて実験することでわかってきます。
ぜひ自分で一つずつすれ違ったポイントを計算して追ってみたりしてやってみましょう。(畠田)

女子学院中学校 理科 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は女子学院中学の理科をとりあげます。

【問題分析】
大問1…消化酵素の問題です。よく問われる基本的な問題ばかりなのでしっかり勉強しておきましょう。素早く答えて時間を稼ぎたいところです。

大問2…問1は天球の問題です。知識というよりはその場で読み取っては判断するので,しっかり基本的なことを身につけて色々な問題でよく練習しておきましょう。問2の日食の問題は簡単な知識問題なので瞬殺してください。

大問3…水溶液の問題です。問1の溶解度の問題は大した計算を聞いてるわけでもなく問題文の読解が難しいです。まずは1000gの海水に溶けているもの34gのうちそれぞれの物質はどれくらいなのかを考えますが(5)は溶解度の問題です。対して(6)は液量がはじめの1/10ほどになったときとか、1/2ほどになるまで煮詰めると言う曖昧な表現で、水の質量のことなのか凝固した固体を含めての体積なのか、含めない体積なのか、一体何の量のこと曖昧で、そもそも与えられているのは水100gに対して溶ける量である溶解度です。これはおおよそで良いという意味なので,1/10は水が100gになった,更に1/2は水が50gになったで計算良いです。問2は水溶液の性質ですが、しっかり物質覚えて完答しましょう。

大問4…ばねの問題です。一通りちゃんと出来るかを問われています。今回は問8を解説したいと思います。

(問題)R2 女子学院中学 理科 大問4問7
jyosigakuin20ri1.jpg
3種類の重さが無視できる軽いばねA,B,Cがある。これらのばねをそれぞれ天井につるし,30gのおもりを1個ずつつるしていったときのばねの長さを測定したところ,下の表のような結果になった。おもりの重さをさらに増やしていったときも、おもりの重さとばねののびの関係は変わらないものとする。
jyosigaku20ri2.jpg
問8 重さが無視できる軽い棒の両端にばねBとCを取り付け、右図のように棒の左端から6:5の位置に30gのおもりを何個かつるしたところ、2本のばねの長さは等しくなり棒は水平にになった。このときの、ばねの長さとおもりの重さを求めなさい。
jyosigakuk20r3.jpg

[解説]
まず表からBは30gごとに3cm,Cは30gごとに1.5cm伸びます。
そしてBの自然長は9-3=6cm,Cの自然長は13.5-1.5=12cm
josigakuin_2020_miv_kaisetu1-1.jpg
まずこのような長さが同じになる問題は

1、自然長が短い方を自然長が長い方の長さと同じになるようにおもりをつるす

ようにします。
Bの方が自然長がCより12-6=6cm短いのでBを6cm伸ばすために30×2=60gおもりをつるす。

次に

2、2本のばねの伸びが同じようになるような比で更におもりをつるす

同じ重さのおもりをつるすとBとCの伸びは3:1.5=2:1なので同じ伸びになるようなおもりの重さの比は逆比になるので1:2より[1]gと[2]gとおけます。

つまりBには60+[1]g,Cには[2]g引っ張るとBとCは同じ長さになります。

おもりがつり下がっている点の周りのモーメントのつりあいを考えて
(60+[1])×6=[2]×5
より360+[6]=[10]から[1]=360÷4=90なので

Bを引っ張る力は60+[1]=150gより21cm

おもりの重さは60+[1]+[2]=60+[3]=60+90×3=330gとわかりました。

とっつきにくい人は多いかもしれませんが勉強すればとりやすい分野でもあるので、しっかり勉強しておきましょう。確実に合格に近づきます!(畠田)

女子学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は女子学院中学の算数をとりあげます。

【入試資料分析】
受験者746名て合格者が274名。実質倍率は2.72倍です。
ここ数年高い倍率が続いています。
合格最低点など非公表ですが7割5分から8割を目指したいところです。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題らしい計算問題、必ずあわせましょう。(2)30°を利用する基本的な三角形の面積の問題です。必ずあわせたいです。(3)正三角形になるよくある問題を少し捻った問題ですが正三角形や二等辺三角形になる場所をさがすという同じことをやればいいので落ち着いてとりたいところです、(4)計算は簡単ですが文章が少しややしくて読解力が必要なのが女子学院らしいので解いてみてください。(5)最小公倍数の問題です、瞬殺できるように慣れておきたい。(6)直角三角形があると角度に○と×をつけていくことは普段からもやっておいてください。

大問2…直角三角形に正方形が入っておりパターンそのままの問題です。計算間違いなく解いて時間を稼いでください。

大問3…基本的な用語を聞いてきています。2秒で答えてください。

大問4…3→4区間の速さについては述べられていませんが、グラフから計算しろということです。他の区間が全て同じ時間なことに注意してください。このような読解も処理も少し複雑な問題はよく出るので練習しておいてください。

大問5…今回はこれを扱います。

大問6…(1)は流速が打ち消しあい、どちらも同じ時間なので速さは進んだ距離に比例します。(2)はダイアグラムなど書いて間違えないようにきをつけてください。典型的な問題なのでしっかりたくさん練習しておいてください。

(問題)R2 女子学院中学 算数 大問5
下のように,AからPまでに,ある整数が入っている表があります。この表に,次の規則に従って○か×の印をつけます。
① AからPまでの数の1つに○をつけ,その数と同じ行,同じ列に並んでいる印のついていない数すべてに×をつける。
② 印のついていない残りの数の1つに○をつけ,その数と同じ行,同じ列に並んでいる印のついていない数すべてに×をつける。
③ もう一度②を行い,残った数に○をつける。
jyosigaku20m1.jpg
この表では,どこを選んで○をつけていっても,①から③の作業をした後に○のついた数の和がいつでも同じになることがわかりました。

(1)①から③までの作業をした後に○のついた数は全部で[   ]個あり,それらの数の和はいつでも[   ]です。

(2)Aに入っている数は[   ],Gに入ってる数は[   ]です。

(3)この表に入っている一番大きい数は[   ],一番小さい数は[   ]です。

[解説]
(1)4×4なのでこの作業をすると4個○がつきます。
和はいつでも同じということは、和の値が出てくるように○をつけていけばいいです。
josigakuin_2020_m5_kaisetu1.jpg
例えば
8+15+12+9=44

(2)この作業を何度かやってみると,各列から行の違うものを選んだ整数の和のが一定ということがわかります。
ということは例えば
josigakuin_2020_m5_kaisetu2 (1)
A+15+9+11=44からA=9
8+12+G+11=44からG=13

(3)更に整数を求める計算をしていってみると

josigakuin_2020_m5_kaisetu3.jpg
○をつけてから2列を抜き出して、その2列の○のついた整数の和は,それぞれの行を交換して○をつけなおしても整数の和は同じでないといけないことがわかります。

ということは9+11=15+LよりL=5
9+J=8+12よりJ=11
11+15=9+NよりN=17
11+M=8+17よりM=14
E+12=9+15よりE=12
C+15=12+13よりC=10
10+9=13+DよりD=6
と全てわかり一番大きい数は17一番小さい数は5とわかります。

具体的にやってみることがこの問題のアプローチのポイントです。間違いを恐れず、どんどん書いてみて問題を把握していきましょう。(畠田)

神戸女学院中等部 算数 2020(R2)入試分析

今回は神戸女学院中等部をとりあげます。

【入試資料分析】
受験者240名に対して合格者が153名。実質倍率は1.57倍です。
合格最低点は体育実技(20点)を含めて、249点/460点。筆記で6割が目標です。

【問題分析】
大問1…(1)よくある公約数の問題なので瞬殺してください。(2)よくある一次不定方程式の問題なので瞬殺してください。

大問2…消費税の問題です。(1)3583×(0.1-0.08)=71.666…としてから切り捨てすると、答えがずれるのが注意してください。(2)何円から何円の間であればいいのか範囲を考えましょう。

大問3…ダイアグラムなど書いて整理など処理能力が求められていますが、意外と場合分けがほとんど起こらずややこしくはなりません。速さを求めるより2kmで何分かかるかで計算した方がやりやすいです。

大問4…狂った時計のよくある問題です。時計Aが午前8時38分を指してから、時計Cが午前8時38分を指すまでの間に時計Bでは1分15秒経過していましたという表現が少し難しいですが、これを先に書いてあるから混乱するのであって、この後ろに書いてあることでAとCの速さの比が出るのでそこから処理出来たらやりやすかったと思います。
考えだす前に問題文を一通り読むようにしましょう。

大問5…群数列の問題です。今回はこれを扱います。

大問6…正六角形の問題です。使う手法はいかにも正六角形の問題で使うことの組み合わせなので一通り定石は勉強しておくようにしておきましょう。

(問題)R2 神戸女学院中等部 算数 大問5
次のような規則にしたがい、整数が組に区切られて2列に並んでします。

A列: 1| 2 3| 7 8 9|13 14 15 16|…
B列: 2| 5 6|10 11 12|17 18 19 20|…

整数の位置を○列第△組☐番目と表すことにします。例えば,8はA列第3組2番目の数となります。
(1) 280は何列第何組何番目の数ですか。

(2)A列の先頭から第a組b番目までの和と、B列の先頭から第a組b番目までの和との差が85となりました。aとbを求めなさい。

(3)B列の先頭から第15組14番目までの和を求めなさい。


[解説]
(1)
1 2|3 4 5 6|7 8 9 10 11 12|13 14 15 16 17 18 19 20|…
という群数列を考えて280は何群目に入るかと考えると
2×(1+2+3+…+16)=272<280
2×(1+2+3+…+16+17)=306>280
で17群目に入り
280-272=8でこれは17より小さいのでA列の方に入ります。
A列第17組8番目

(2)第1群目の差は1
第2群目の差は2+2=4
第3群目の差は3+3+3=9
第4群目の差は4+4+4+4=16
と平方数になります。

1+4+9+16+25=55<85
1+4+9+16+25+36=91>85
で85は第6群目に入ることがわかります。
(85-55)÷6=5
よって第6組5番目よりa=6,b=5とわかります。

(3)AとBの差がわかっているので、まずはAとBをあわせて第15群まで全部足すことを考えてみます。
第15群の最後の項は
2×(1+2+3+…+15)=240
よってAとBをあわせて第15群まで全部足すと
1+2+3+…+240=28920

この時AよりBの方がどれだけ大きいのかを計算すると
1+4+9+16+…+15×15=1240

よって第15群までのAとBの和は28920,差は1240なので和差算よりBの和は
(28920+1240)÷2=15080
Bの第15群の14番目までなので最後の240を取り除いて
15080-240=14840
とわかりました。

群数列の問題として典型的な手法も使いますが、少し崩してきていて工夫が必要です。たとえ良い方法が思いつかなくても、力技で解く力が欲しいところです。
日々の練習が合格につながります(畠田)

渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)第1次

今回は渋谷教育学園幕張中学の一次入試を取り扱います。

【入試資料分析】
例年は合格者を730人前後とるところを、今年は受験者数はかわらないのに合格者数は630人しかとらず厳しいになったと思われます。
男子
受験者数1441人 合格者数464人
女子
受験者数617人 合格者数166人
合計
受験者数2058人 合格者数630人 倍率3.3

各教科の平均点では算数の受験者平均と合格者平均の差が例年では10点程度ですが今年は13.8点とかなりあります。

算数は差がつきやすい試験だったと思われます。
(配点,受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(100,48.8,56.0)
算数(100,45.0,61.3)
社会(75,43.1,47.4)
理科(75,48.9,57.1)
合格最低点は204/350

合格者が少なかった影響もあってか合格者平均や合格最低点が比較的高くなっています。
特に算数は平均点と合格者平均の差が16点と例年に比べてかなり大きくなっています。

【問題分析】
大問1…継子立てです。難関校でかなりよく出てるので,よく練習していれば簡単だったと思います。2の累乗が残るまで取ると後は,取られ方が規則的になります。研究しておきましょう。

大問2…連続する整数の和であらわす問題です、これもかなりよく出る難関校の典型問題です。特に(4)は中学受験の算数らしく項数が奇数か偶数かでわけるより,高校数学っぽく(初項+末項)×(項数)÷2で考えた方がわかりやすかったかもしれません。何故,2の累乗の時だけ作れないのか考えてみてください。

大問3…非常に簡単な水の問題です。簡単すぎて戸惑ったかもしれません。

大問4…今回はこれを扱いたいと思います。

大問5…やはり渋幕なら出てくる切断の問題です。(1)は簡単です。(2)①も慣れていれば比とか考えて特に問題なくすぐに答えられたと思います。②は少し工夫しないといけません。しかし例年より比較的簡単であったように思います。

(問題)R2年 渋谷教育学園幕張中学校 一次入試 大問4
(1)図1のように直角三角形ABCにACを1辺とする正方形とBCを1辺とする正方形をかき、2つの点D,Eを直線で結びます。このとき,三角形CDEの面積は何cm^2ですか。
sibumaku20m1.jpg

(2)図2のように直角三角形ABCと,AD,BD,CDをそれぞれ1辺とする正方形があります。このとき,CDを1辺とする正方形の面積は何cm^2ですか。
sibumakum2.jpg

(3)AB=AD,AD:DC=2:3,角Aの大きさが150°,角Dの大きさが90°である四角形ABCDがあります。辺BCをのばしたところに2つの点E,Fをとります。次に,直角三角形AEGと直角三角形DFHをかいたところ,図3のようになりました。直線ADと直線GHが平行のとき,三角形ABEは三角形DCFの面積の何倍ですか。
sibumaku20m3.jpg

[解説]
(1)
shibumaku_2020_kaisetu1.jpg
この問題では2つの三角形のある角度の和が180°であれば、面積の比はその角をはさむ2辺の長さの積の比であることを使います。
2017年度の灘中学2日目の大問4や,2018年度の甲陽2日目の大問5にも出題されています。
特に図1のように2つの正方形で作られる三角形2つの形に使うことが多いです。

shibumaku_2020_m4-1_kaisetu1.jpg
△ABCと△CDEは∠ACB+∠DCE=180°なので面積の比はAC×BC:DC×ECの比に等しいですが、AD=DC,BC=ECより△CDEの面積は△ABCと等しくなり15°の直角三角形なので面積は大丈夫ですね。
(8×4÷2)÷2=8cm^2
とわかります。

(2)
shibumaku_2020_m4-2_kaisetu1.jpg
(ADを1辺とする正方形の面積)=1×1=1cm^2を☐倍すると(CDを1辺とする正方形の面積)
(CDを1辺とする正方形の面積)を☐倍すると(BDを1辺とする正方形の面積)=3×3=9cm^2なので☐×☐=9からA=3より
(CDを1辺とする正方形の面積)=3cm^2

(3)
shibumaku_2020_m4-3_kaisetu1-2.jpg
∠CDA=∠FDH=90度なので(1)のように考えると△DCF:△DAH=DC×DF:DA×DH=3×■:2×1
((2)から■×■=3)
同じように△ABEでも考えられないかと考えると,∠GAE=90°-60°=30°なので
∠EAB+∠DAH=360°-30°-150°=180°になっています。
だから△ABE:△AGD=AE×AB:AG×AD=2:■

するとAD//GHより△AGD=△DAHにいなるので
△DCF:△DAH=3×■:2=3×■×■:2×■=9:2×■
△ABE:△AGD=2:■=2×2:2×■=4:2×■
よって△ABEは△DCFの4/9倍

この問題もそうですが、今回は全体的に最難関校で出される難易度が高い典型問題ばかりでした。よく練習して考察していればスムーズに解けると思います。成果がわかりやすく出るので,しっかり勉強してください!(畠田)

渋谷教育学園幕張中学校 理科 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)第1次

今回は渋谷教育学園幕張中学の一次入試の理科を取り扱います。

【入試資料分析】
理科は
(配点,受験者平均点,合格者平均点)の順で
理科(75,48.9,57.1)
で去年に続いて更に平均点が高く、易化しました。

【問題分析】
大問1…光の問題です。(1)は少し意図がわかりにくいですが全体的にそんなに高い読解力も応用も求められておらず、標準的なテキストに載ってる鏡の光の経路を読んでいたかどうかです。問題を答えるだけなくテキストに載っている説明もよく読んでおきましょう。

大問2…生物の問題ですが、知識はほとんど求められておらず統計的なデータをどう扱うかを聞かれています。グラフで直線になるのは「死亡数が一定」、対数グラフで直線になるのは「死亡率が一定」というように数学的な考察力と高い読解力が問われました。慣れておきましょう。今回はこの(6)を扱います。

大問3…気象の問題です。基本的な知識と、よく問われそうな問題です。テキストの説明が標準的な問題をしっかり練習して点数を確保してください。

(問題)R2年 渋谷教育学園幕張中学校 一次入試 大問2(6)
昆虫Cはガの仲間で、サクラやヤナギの葉を食べる害虫として知られています。昆虫Cの幼虫は、脱皮を繰り返して7齢幼虫まで成長し、さなぎを経て成虫になります。卵から出た幼虫は意図を吐いて網状の巣を作り、集団で生活します。その後、ある齢の幼虫になると単独で生活をするようになります。単独での生活を始めると、他の昆虫や鳥に食われるので、急に死亡率が大きくなります。

ある年、昆虫Cの4287個の卵について、自然の状態での成長を追跡しました。
図4に各段階での個体数を示します。
sibumaku20r1.jpg

図4から昆虫Cについて考えられるこことして、[   ]に適するものを○で囲み、(   )を適切に補いなさい。

7齢幼虫とさなぎを比較すると、死亡数が多いのは[7齢幼虫・さなぎ]の段階である。また、死亡率が大きいのは[7齢幼虫・さなぎ]の段階である。
さなぎまでの各段階のうち、最も死亡率が小さいのは( ③ )の段階である。巣での集団生活をやめて単独での生活を始めるのは、( ④ )齢幼虫だと考えられる。

[解説]
グラフより7齢幼虫の段階では40匹から11匹までの40-11=29匹減りました。
さなぎの段階では11匹から7匹までの11-7=4匹減りました。
死亡数が多いのは7齢幼虫の段階です。

グラフの傾きが7齢幼虫の段階の方がさなぎの段階よりも大きいので,死亡率も7齢幼虫とわかります。

死亡率はグラフの傾きが対応しているので、最も死亡率が低いのは最も傾きが小さい卵の段階です

リード文から単独での生活を始めると急に死亡率が大きくなると書いてるので、単独での生活を始めるのは傾きが突然大きくなっている4齢幼虫の段階だと考えられます。

このグラフは対数グラフ(片対数グラフ)と呼ばれています。
問題文には具体的な数字の例で説明されていて,
目盛りの幅が一定であると、何倍になるのかが一定である
したがって直線であれば死亡率が一定
と読み取る高い読解力が必要となります。

まず普通のグラフにおいて
sibumaku20r2.jpg
昆虫Aのように直線になっている場合は各段階で死亡数が1665匹と一定となっています。
そして昆虫Bのように各段階でその時の個体数の70%死ぬなど死亡率が一定ということであれば直線になりません。

sibumaklu20r3.jpg

そこで個体数において常用対数(個体数が10の☐倍なら下から[1~10の幅]の☐倍の位置に目盛りをとる)をとって点を打てば直線となります。
このグラフは縦軸の幅が同じであれば、個体数が何倍になっているかも同じになっています。
したがって常に70%減るならば、減る目盛りの幅が同じになり直線になります。

対数グラフなど知っている必要はありませんが、過去問などで練習していたり、テキストの説明文はよく読んでおくようにしておきましょう。
渋幕の合格に近づくと思います、頑張ってください(畠田)

洛南高等学校附属中学校 算数 2020(R2)入試分析

今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。

【入試資料分析】
倍率も平均点も例年通りで、相変わらず女子の難易度が高いです。

受験者数→合格者数(実質倍率)
男子:536人→219人(2.45倍)
女子:248人→75人(3.3倍)
専願の合格者最低点は男子で236点,女子で268点
併願は男女281点。

合格者平均点は
国語:3科型で96.8 4科型で98.2
算数:3科型で119.2 4科型で110.1
理科:3科型で62.5 4科型で55.0
社会:4科型のみで77.2
総合:3科型で278.4 4科型で274.8

算数はここ数年でもっとも平均点が高くなりました。
合格者平均点は8割程度であり,難しくて解けないと思われる問題や、大して処理が複雑な問題も少なかったのでしっかり高得点を狙ってほしいです。

【問題分析】
大問1…計算問題です。計算力というよりは工夫して計算する問題が多く、思いつきやすいので簡単に満点がとれると思います。

大問2…(1)~(4)まで典型問題が並んでいるのでバシバシ解きましょう、今回はこの(5)を解説します。

大問3…流速の問題です。上りと下りの速さをだしダイアグラムを書くをなど典型的な手法で出来るので満点を狙いましょう。

大問4…(1)(2)は次々とマスが決まっていくのですぐに出せたと思います。(3)は色々なやり方が考えられそうですが、平方数に注目して4の倍数は1直線に並ぶ,9の倍数は1直線に並ぶなど絞っていけます。しかし泥臭く根性で求めるくらいでいいです。

大問5…余りの問題です。すべて余りが一番大きくなる場合は不足が1と考えるなど、やったことあるようなことを聞かれています。いいやり方が思いつかなくても,4,5,6だけで書き下して規則性を見つけるなどして何とか解きましょう。泥臭くごり押しで求められることは重要です。

大問6…切断の問題です。ハイレベルではありますが、工夫しないと解けないというわけでなく典型的な問題なので落ちてついて点数を狙いましょう。

(問題)R2 洛南高等学校附属中学校 算数 大問2 (5)
図の斜線部の面積は[オ]cm^2です。

rakunan20m1.jpg
AB:BC=2:1

[解説]
このような直角三角形や正方形の欠片が見えるような問題は,正方形を合同な直角三角形4つと小さい正方形にわけられた図を考えるとうまくいくことがあります。
rakunan_2020_m2_kaisetu1-2.jpg
三角形ADCをACの中心で180°回転させて三角形CEAを考えると
緑とオレンジと紫の三角形は全て斜線部の直角三角形と合同になります。

そしてAB:BC=2:1とAF:FC=1:2なのでAF:FB:BC=1:1:1となり
EF//DBよりAS:SP=AF:FB=1:1

したがって(斜線部の直角三角形の面積):(正方形RSPQの面積)=2×1÷2:1×1=1:1

なので斜線部の直角三角形の面積は

(正方形ADCE)÷5=5×5÷5=5cm^2

このように要領よく解けなくても、泥臭くやれば解けるのでやってみてください。
泥臭くやることも大切です。
色々やってみることでアプローチの幅が広がり点数が安定してくると思います。(畠田)

渋谷教育学園渋谷中学 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は渋谷教育学園渋谷中学の第一回理科を扱います。

【問題分析】
大問は2つで、どちらもあらゆる分野にまたがった総合的な問題です。
単語や数字を答えるような問題はほぼなく、その場で読み取って答える渋渋らしい問題です。

大問1…山や月など遠くのものを動きながら見ると、何故拡大されたように見えたり,追いかけてくるように見えるのかということがテーマの問題です。
単語や数字だけ答えるような知識問題はほとんど問われず文章を読解して総合的な学力を使って組み立てる練習が必要です。
ただ本で読んだことあったり、考えて調べたことがある人なら数分で簡単に解けてしまう現実はあるので、注釈などに書かれてるようなエピソードを普段から興味を持って読んでおくようにして知識を増やしておきましょう。
例えば僕は中年になって男二人でディズニーランドに初めて行きましたが、一緒にいった仲間がディズニーランドの建物は大きく見えるのは遠近法を使った錯角が利用されているという話をどこかの国語の入試問題で読んだことある話をして永遠と聞かされました。
このような興味も大切です。

大問2…前半は熱の問題です。文章を読解して答えていくことになりますが,典型的な熱の問題を練習して知識をものにしていることが必要です。
後半は高校化学の天然高分子化合物の問題そのものです。今回はこれを扱います。

(問題)R2 渋谷教育学園渋谷中学 理科 大問2 問6
デンプンは、たくさんのブドウ糖が同じ距離、同じ角度で結合して、図2のような「らせん構造」をしています。ヨウ素デンプン反応は、デンプンのらせん構造の中にヨウ素が入り込むことで、デンプンがむらさき色に見える現象です。デンプンには図3のように枝分かれのないアミロースと、枝分かれのあるアミロペクチンがあります。
sibusibu20r1.jpg

問6 アミロペクチンは、図4のようにブドウ糖の5個ある結合の手のうち、1番と4番を使ってらせん構造をつくり、1番と5番を使って枝分かれをつくっています。その構造を調べるために、アミロペクチン中のブドウ糖で結合していないすべての手に図5の例のようにカバーをします。次に、1番と4番、1番と5番の結合を切って、アミロペクチンをすべてばらばらにして、「カバー付きブドウ糖」にします。ただし、結合を切るときにカバーされた手は変化せず、カバーが付いたままになります。図6のアミロペクチンからは何種類の「カバー付きブドウ糖」ができることになりますか。
sibusibu20r2.jpg
sibusibu20r3.jpg
sibusibu20r4.jpg

 

[解説]
まずは手がつながっているところはカバーされないので印をつけていきます。

どの手がカバーされていないかで色分けしていくと
shibushibu_2020_rm2-kaisetu1-1.jpg

1番であるもの 赤

1番と4番であるもの 青

1番と4番と5番であるもの 緑

4番であるもの 黄

4種類であることがわかります。

この問題は大学受験でよく出題される化学の天然高分子化合物の問題です。

今は覚えなくていいことですが説明しておくと

図4の左のブドウ糖はα-グルコースと呼ばれ、結合の手のところのはヒドロキシ基(OH)がついてきます。
このヒドロキシ基がグリコシド結合していく、つまりは手と手がつながってアミロペクチンになります。
そしてヒドロキシ基をメチル化するとメトキシ基(OCH3)になり、これがカバーされた手のことになります。
そして希硫酸で加水分解することでカバーされた手の位置が違う4種類の化合物得られます。

渋渋では高校化学からの問題も出されることがあります。それは知識がなくても、文章を読んでその場で考える問題であり読解力、理科的な思考の練習が求められています。中学受験の範囲でなくともエピソード読んだり聞いたりしておくことは考える下地になるので少し意識しておくと合格に近づきます!(畠田)

渋谷教育学園渋谷中学 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は渋谷教育学園渋谷中学の第一回を扱います。

【入試資料分析】

第1回は男子の人数はかなり減りました。
倍率も全体的に低くなっています。

年々偏差値が上がっていっているので簡単になったというわけではないと思います。

受験者数
男子…125名
女子…251名
合計376名

合格者数
男子…41名
女子…80名
合計121名

倍率
男子…3.04倍
女子…3.12倍
全体で3.11倍

【問題分析】
大問1…(1)基本的な計算問題です、しっかりあわせましょう。(2)最初に意外とやりにくい問題がきました。答えは観で何となくわかりそうなので答えてしまってください。論理的には積は111111以下のはずと考えるなどやります。(3)非常に典型的な図形問題、素早く完答したいです。(4)食塩水の問題で、極端に難易度が低いので逆に注意してください。(5)この問題はしっかり範囲を考える必要があり、少し面倒です。(1)~(5)まで難易度がバラバラなので混乱しないよう時間配分に気をつけましょう。

大問2…今回はこの問題を扱います。

大問3…点字をネタにした場合分けの問題です。去年もマイナンバーなどの検査数字をネタにした問題があり,社会生活をテーマとした問題が出題されています。
難易度はそんなに高くありませんが、読解力が試されているので注意しておきましょう。

大問4…回転体の体積の問題です。渋渋の過去問でも結構出されいるので、しっかり練習して満点を狙いましょう。

(問題)R2 渋谷教育学園渋谷中学 算数 大問2
1辺の長さが4cmである正方形と,1辺の長さが6cmである正方形が1つずつあります。1つの角Aを共通になるように置き,正方形の他の頂点を図のように点B,C,D,E,F,Gとします。
点Pは最初,点Bにあり,秒速1cmで正方形ABCDの辺を
B→A→D→C→B→A→D→C→B→…
のように動き続けます。
点Qは最初,点Fにあり,秒速1cmで辺EFを
F→E→F→E→…
のように動き続けます。

点Pと点Qは同時に出発します。次の問いに答えなさい。
shibushibu20m1.jpg

(1)点Pと点Qが,初めて両方とも最初と同じ位置になるのは,出発してから何秒後ですか。

(2)点Qから点Pに向かって限りなくのびる直線をかきます。この直線が正方形ABCDと正方形AEFGの面積を両方とも二等分するのは,出発してから10分間で何回ありますか。

(3)三角形CPQの面積が正方形AEFGの面積の半分になるのは,出発してから何秒後ですか。出発してから1分間のものをすべて答えなさい。ただし,解答欄はすべて使うとは限りません。また出発時は含めないものとします。

[解説]
(1)Pは16秒で1周,Qは12秒で1往復なので,16と12の最小公倍数を考えて48秒後です。

(2)
二等分するのはPがAまたはC,QがFの時です。
shibushibu_2020_m2-kaisetu1.jpg
表より二等分されるのは何秒後かというと
12,36,60,…
で12が初項の公差24の等差数列となります。
よって10分では
(600-12)÷24=24余り12より24+1=25回

(3)実際にはPやQが頂点についた時を調べていって考えてみましょう。
ここでは論理的な解説を書いたとすると
shibushibu_2020_m2-kaisetu2.jpg
点Pを通りAEに垂直な直線と線分FGとの交点をRとすると三角形GPQの面積は
(線分PRの長さ)×6÷2
となります。

そして三角形GPQの面積が最大、つまり(線分PRの長さ)=6cmが最大になると正方形AEFGの面積の半分である6×6÷2=18cm^2となります。
ということは点Pが辺AB上にある必要があることがわかります。

すると次の二つの場合あることがわかります。

1、点Pが辺AB上で,点Qが点Fにある場合
shibushibu_2020_m2-kaisetu3.jpg

2、点Pが辺点Aにある場合
shibushibu_2020_m2-kaisetu4-3.jpg

それぞれ表より
shibushibu_2020_m2-kaisetu5.jpg

4秒後,20秒後,36秒後,48秒後,52秒後

この問題は、動く点の問題でよく使う整理の仕方と、どのように移り変わっていくか実験してみて掴むことが必要です。ぜひPやQが各頂点にきたときを調べて移り変わりを追ってみてください。その上で,解説に書いたように論理的な考察もしてみてください。(畠田)

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