数理教育研究会

筑駒

筑波大学附属駒場中学校 理科 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は筑波大学附属駒場中学校の理科の問題を取り上げます。

【問題分析】
大問1…筑駒の定番の問題です。今回はこれを扱います。

大問2…モーターの問題です。簡単な問題なので落ち着いて素早く処理して満点狙いましょう。

大問3…あらゆる分野からの基本的な知識を問われています。単にワードを覚えるのではなく、そのワードが関連してることを覚えておきましょう。

大問4…昆虫の問題です。ナナホシテントウの頭と胸と腹の区別を覚えないといけないのではなくて3対の足がついてるのが胸ということから読み取れという考察が問われています。食べるエサも覚えていなくても,都会なのでテントウムシ見たことありませんという人も「春になると草むらの草の先たんなどによくナナホシテントウが見られる」いるというリード文である程度、アブラムシとわかります。

大問5…発芽条件の問題で,文章が長いですがサっと満点を狙いたいところです。光が影響する種類もあることを考慮するのを忘れないように。

大問6…溶解度を表から読み取り計算する基礎的な問題です。筑駒は時間が厳しいので素早く正確に解けるように練習しておきたいです。

大問7…熱と燃焼の問題です。簡単なので時間がなくてできなかったということは絶対にないようにしたいところです。


(問題)2020年度 筑波大学附属駒場中学校 理科 大問1
黒い積み木を10個、城井積み木をA,B,C,Dを1個ずつと板で作ったてんびんを用意した(図1)。いずれの積み木も底面の大きさが等しい直方体で、黒い積み木とAの重さを等しく、B、C、Dの重さはそれぞれAの2倍、3倍、4倍である。てんびんは中央に支点があり、左右5か所ずつ区切った場所に、支点から外に向かって①~⑤と番号をつけた。この場所に黒い積み木を置いて土台とし、その上に白い積み木を積むこととする。また、何も置いていないとき、板は水平のままであった。以下の分に続く後の各問いに答えなさい。
tukukoma20r1.jpg

【操作1】黒い積み木を板に置いて土台を作る。次の(1),(2)の場合、板が水平のままとなる土台が何通りできるか調べた。ただし、左右を入れかえただけのものは同じ置き方とし、1通りと数える。
(1)板の左右に2個ずつ、4個とも違う番号に置いた(左右で同じ番号に置かない)場合
(2)板の左に2個、右に1個置いた場合

【操作2】操作1の(1)で板が水平のままとなる土台を、次のルールにしたがって4けたの数で表した。
黒い積み木を左の①と⑤、右の②と③に置いた場合、板の左はしから順に⑤①②③と並んだことになる。これを4けたの数5123(図2の上)と表す。3215(図2の下)も同じ置き方と考えるので、大きい方の5123をこの土台を表す数とする。
tukukomar2.jpg

【操作3】操作1の(1)で板が水平のままとなる土台のうち、操作2で表した4けたの数が最も大きな土台を用意し、黒い積み木の上に白い積み木を積む。次の(3)、(4)の場合、板が水平のままとなる積み木が何通りあるか調べた。
(3)4個の黒い積み木の上に、白い積み木A~Dを1個ずつ積んだ場合
(4)4個の黒い積み木から選んだ3個の上に、白い積み木A、B、Cを1個ずつ積んだ場合

【操作4】操作3の(4)で板が水平のままとなる積み方では、黒い積み木が置かれていない場所が6か所ある。このすべてに黒い積み木を1個ずつ置いた後、板がどうなるか調べた。

1.操作1の(1)、(2)では、板が水平のままとなる土台はそれぞれ何通りできますか。

2.操作3で用意した土台を表す4けたの数を書きなさい。また、操作3の(3)、(4)では、板が水平のままとなる積み方はそれぞれ何通りありますか。

3.操作4の結果、どうなると考えられますか
ア 白い積み木の積み方によらず、板の左はしが下がる。
イ 白い積み木の積み方によらず、板は水平のままとなる。
ウ 白い積み木の積み方によらず、板の右はしが下がる。
エ 白い積み木の積み方によって、板の右はし、または左はしが下がるが、水平のままになることはない。
オ 白い積み木の積み方によって、板の右はし、または左はしが下がる。あるいは水平のままとなる。

[解説]
1.(1)黒い積み木は全て同じ重さです。
よってモーメントの大きさは番号に比例することになるので
(左の二つの番号の和)=(右の二つの番号の和)
となればよくなります。

異なる4つの数字を使うので使わない数字は1つになりますが
5つの数字の和は1+2+3+4+5=15の奇数なので、使わない数字を取り除くと和は偶数である必要があるので使わない数字は奇数となります。

1を使わないとき 和は(15-1)÷2=7で 2+5=3+4
3を使わないとき 和は(15-3)÷2=6で 1+5=2+4
5を使わないとき 和は(15-5)÷2=5で 1+4=2+3

3通り

(2)
(左の二つの番号の和)=(右の一つの番号)
となればよくなります。

左の二つの番号の和は小さくて1+2=3なので

3=1+2
4=1+3
5=1+4,2+3

4通りとわかります。

2.4けたの数が最もおおきな土台は(1)より5234

(3)白い積み木の重いさの比はA:B:C:D=1:2:3:4です。
5×☐+2×☐=3×☐+4×☐
の☐に1,2,3,4を1つずつ入れる方法になります。

2×☐は偶数、4×☐は偶数なので
5×☐と3×☐の偶奇は一致しないといけません。

3と5は奇数なので3×☐と☐の偶奇は一致,5×☐と☐の偶奇は一致するので

5×(偶数) 3×(偶数)
または
5×(奇数) 3×(奇数)
の場合に限られることになります。

○5×(偶数) 3×(偶数)の時
5×[2]+2×☐=3×[4]+4×☐は5×[2]+2×[3]=3×[4]+4×[1]
5×[4]+2×☐=3×[2]+4×☐は無理

○5×(奇数) 3×(奇数)の時
5×[1]+2×☐=3×[3]+4×☐は無理
5×[3]+2×☐=3×[1]+4×☐は5×[3]+2×[2]=3×[1]+4×[4]

2通りとわかりました

(4)5×☐+2×☐=3×☐+4×☐の☐に0,1,2,3を1つずつ入れる方法になります。

同様にして
○5×(偶数) 3×(偶数)の時
5×[0]+2×☐=3×[2]+4×☐は無理
5×[2]+2×☐=3×[0]+4×☐は5×[2]+2×[1]=3×[0]+4×[3]

○5×(奇数) 3×(奇数)の時
5×[1]+2×☐=3×[3]+4×☐は5×[1]+2×[2]=3×[3]+4×[0]
5×[3]+2×☐=3×[1]+4×☐は無理

2通りとわかります。

3.左の⑤と②、右の③と④に乗せてる積み木によるモーメントの和は左と右で同じになっています。
そして5+2=3+4=7より黒い積み木が置かれていない場所によるモーメントの和は番号の和を考えて左も右も15-7=8となるので白い積み木の積み方によらずに、板は水平のままとなります。

筑駒の理科ではてこの問題で何通りあるかという問題が定番ですが,早く解けるようにすることが重要です。
そのためには整理の仕方の練習をして奇数や偶数を考えるなどして場合分けを少なくしたりなど出来るようになっておくことも有効です。
がんばってください(畠田)

筑波大学附属駒場中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は筑波大学附属駒場中学校の問題を取り上げます。

【入試資料分析】
受験者数563人で合格者130人の倍率4.33倍
去年よりさがりましたが例年並です。

筑駒では最高点と最低点しか発表されていません。
算数、国語、理科、社会、調査書、各100点ずつの500点満点で最高403点、最低340点
例年通りと言ったところです。

今年の問題も具体的にやってみてから規則性を発見する筑駒のよくある問題でしたが,数学の方程式を使うと楽な問題も多かったと思います。
文字を使った式くらいは慣れておいてよいと思います。

【問題分析】
大問1…一次不定方程式の問題です。表を使って解くなど(1),(2)は瞬殺できたと思いますが(3)はX,Y,Zを3個ずつ足して50の倍数にするなど時間内に解くには工夫があった方が良いです。

大問2…試していくうちに,異なる3つの数では各桁に2回ずつ出るので合計数は(各桁の数)×222,2つ同じ数で1つ異なるの数では(各桁の数)×111と法則性に気付いていきます。
ただ,その法則性は数学的にもわかりやすくいので大して問題になりませんが(3)の整理の仕方が十の位と一の位の数の組み合わせで100マスを考えるかなど,この処理に筑駒らしさがあったように思います。

大問3…タクシーの料金といういかにも算数らしい問題ですが,距離に関する料金は切り上げ,時間に関する料金は切り捨てを混ぜてきて複雑になっています。筑駒らしい問題です。

大問4…(イ)=(ア)+(差),(ウ)=(ア)+(差)×2,(エ)=(ア)+(差)×3。(ア)+(イ)+(ウ)+(エ)=1×2の方程式でごり押しでわかってしまいます。今回はこの(3)をあつかいたいと思います。

(問題)2020年度 筑波大学附属駒場中学校 算数 大問4
図1のように,長方形ABCDにおいて,辺ABの長さ2m,辺ADの長さが1mです。この長方形の内側に点Pを,4つの三角形PAB,PBC,PCD,PDAの面積がすべて異なるようにとりあす。4つの三角形を,面積の小さい順に(ア),(イ),(ウ)、(エ)としたところ,三角形PABが(ア)となり,(ア)と(イ),(イ)と(ウ),(ウ)と(エ)の面積の差がすべて等しくなりました。次の問いに答えなさい。
tukukoma20m1.jpg

(1)(ア)の面積が1/6m^2のとき,(エ)の面積を求めなさい。

(2)点Pが図2の位置にあるとき,三角形PDAが(イ)です。また図2で,点Qは辺AD上,点Rは直線PQ上にあり,PQとADは垂直です。さらに,斜線で示した図形DRAPの面積は,(ア)と(イ)の面積の差に等しく,1/6m^2です。このとき,QRの長さを求めなさい。
tukukoma20m2.jpg

(3)点Pとして考えられるすべての位置を解答欄の長方形ABCDの内側にかきなさい。ただし,(ア),(イ),(ウ),(エ)の面積はすべて異なるので,図3の点線部分は答えに含まれません。
tukukoma20m3.jpg

[解説]
(3)
まず△PAB+△PDCと△PAD+△PBCはどちらも平行四辺形の半分の面積1×2÷2=1m^2です。よって△PAB=(ア)が最小なので△PDCが最大となり(エ)とわかります。
(イ)と(ウ)はそれぞれ△PADと△PBCのどちらかとなります。

このような軌跡の問題は極端な場合を考えると軌跡が予想できます。
まず(ア)を最大にすると(ア)=(イ)=(ウ)=(エ)なので点Pは長方形ABCDの対角線の交点である中心になります。

(ア)と(イ),(イ)と(ウ),(ウ)と(エ)の面積の差をAとすると
そして(ア)を最小にした面積が0の場合は面積が(イ)=A,(ウ)=A×2,(エ)=A×3となればよいです。
実際にA=(長方形)÷6=1/3となればできます。
このとき(イ):(ウ)=1:2より点Pは辺AB上を1:2または2:1の点となります。

tukukoma2020 4-1

長方形の中心と、この2つの点をそれぞれ直線で繋ぐと答えはわかります。

本当に直線で良いのかどうかを考えると点Pを辺ADに平行に辺ABに向かって[1]進めると
(ア)の面積は[1]×2÷2=[1]減り,(エ)の面積は[1]増えます。
よって(ア)と(エ)の差は[2]増えます。

(イ)=(ア)+A,(ウ)=(ア)+A×2,(エ)=(ア)+A×3

よりAは[2]÷3=[2/3]増えます。

(イ)は(ア)が[1]減り,Aが[2/3]増えるから(イ)は[1]-[2/3]=[1/3]減ります。

△PADが(イ)とすると辺ADを底辺とすると高さは[1/3]×2÷1=[2/3]減ります。

ということは点PはABに向かってADに平行に[1]動かすと,ABに平行にADに向かって[2/3]動かせばよくなります。
tukukoma2020 4-2

1:2/3=3:2より対角線の中心から下に3進めて左に2進む直線と,下に3進めて右に2進む直線ということがわかりました。

もし数学的にやるとすると
(ア)の高さをy,(イ)の高さをxとすると
(ア)=2×y÷2=y,(イ)=1×x÷2=x/2
で(イ)-(ア)=x/2-yなので(ウ)=x/2+(x/2-y)=x-y
(エ)=x-y+(x/2-y)=x×3/2-y×2

(ア)+(エ)=1×2÷2からy+x×3/2-y×2=1よりy=x×3/2-1
となります。
文字の扱いに慣れている人はこれでごり押しでやっても大丈夫だと思います。

この問題は極端な場合を考えて答えをまず予想するということ,動かしてみて変化を考えることなどアプローチの仕方が勉強になります。
もし算数的に綺麗に解けなくてもごり押しで解くことも大切です。
がんばってください。(畠田)

筑波大学附属駒場中学校 算数 問題解説&入試分析★2019年(H31年)

今回は筑波大学附属駒場中学校の問題を取り上げます。

【入試資料分析】
倍率は例年並みです。
受験者数624人で合格者129人の倍率4.84倍

筑駒では最高点と最低点しか発表されていませんが、今年は最低点がここ10年でもっとも低かったです。
算数、国語、理科、社会、調査書、各100点ずつの500点満点で最高388点、最低322点

算数の問題は難しい問題というわけではなく素早い処理が求められる筑駒らしい問題でした。
ただし大問2問は書き上げた人と,問題のアプローチの仕方がわかった人でかかった時間と正解率に差が出たかもしれません。
大問4がすぐに出来ることを考えると,大問2などに時間をとられてしまって大問4にかける時間がないと点数がとれないので筑駒の過去問で戦略を研究して慣れておくことが重要です。
目標は8割です。
筑駒の傾向にあわせた対策と,時間配分を意識して練習していけば合格点とれます!

【問題分析】
○大問1
筑駒の問題は小さい数で書き下して規則性を見つけて,他の数の場合にあてはめるのが基本です。
非常に筑駒らしい処理になり,満点を狙いたいところです。
看板の番号と,その看板と0の看板の間の距離は
1…1
2…1/2
3…1/4
4…3/4
5…1/8
6…3/8
7…5/8
8…7/8
9…1/16
10…3/16
11…5/16
12…7/16
13…9/16
14…11/16
15…13/16
16…15/16
これを見ると
1 | 1/2 | 1/4,3/4 | 1/8,3/8,5/8,7/8 | 1/16,3/16,5/16,7/16,9/16,11/16,13/16,15/16|…
のように例えば
4群目の最後は全体で2×2×2=8番目で,分母が2×2×2=8で分子は奇数が4個
5群目の最後は全体で2×2×2×2=16番目で,分母が2×2×2×2=16で分子は奇数が2×2×2×2=8個
となるような群数列です。

31の看板は
2×2×2×2=16,2×2×2×2×2=32から6群目の中の31-16=15番目より分母は32で分子は15番目の奇数2×15-1=29。
したがって29/32kmです。

(2)2019の看板は
(2が10個の積)=1024,(2が11個の積)=2048より11群目の中の2019-1024=995番目より分母は2048,分子は995番目の奇数2×995-1=1989より1989/2048km

よってに1989/2048-29/32=133/2048km

(3)例えば工事3の図を見ると看板0から8までなら1/8kmずつの間隔で並んでいます。
看板0から2048では1/2048kmずつの間隔で並んでいることになるので2019個目の看板は2019-1=2018に注意して
0の看板から2018/2028=1009/1024kmのところにあります。
これは1024=(2が10個の積)より11群目の中の(1009+1)÷2=505番目です。
よって10群目の最後は全体で(2が9個の積)=512番目より全体で512+505=1017番目
つまり1017の看板とわかりました。

大問2
この問題を取り上げようと思います。

大問3
(1),(2)は基礎的な問題で落とせません。
(3)では少し複雑になっていきますが,ちょっと工夫する程度なのであわせたいところです。
(1)赤と白の進んだ長さの差が15mになればよいので
15÷(3.5-2)=10秒後
白はこのとき2×10=20m進むので15で割ると20÷15=1余り5よりAからの距離は5m

(2)(1)より赤と白は10秒ごとに一致します。
赤と青の進んだ長さの和が15cmになればよいので
15÷(3.5+1.3)=25/8
よって25/8秒ごとに赤と青は一致。
したがって10,20,30,…と25/8,25/8×2,25/8×3,…が最初に一致するのは50なので
50秒後
このとき白は2×50=100m進むので100÷15=6余り10よりAからの距離は10m

(3)(2)より赤と青は25/8ごとに一致
白はAからB,BからAまでそれぞれ15÷1.5=10秒ずつかかる。

0~10,20~30,40~50,…秒では白が往復せずにAを出発しBに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。
もし白がこのA→Bを繰り返す動きしかないとすると
15÷(3.5-1.5)=15/2秒ごとに一致
25/8,25/8×2,25/8×3,…と15/2,15/2×2,15/2×3,…が最初一致するのは75/2より75/2秒ごとに一致する。
実際は0~10,20~30,40~50,…秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは37.5×5=187.5秒

10~20,30~40,50~60,…秒では白が往復せずにBを出発しAに到着した瞬間に再びAで点灯した動きと同じです。
もし白がこのB→Aを繰り返す動きしかないとすると
15÷(3.5+1.5)=3秒ごとに一致
25/8,25/8×2,25/8×3,…と3,6,9,…が最初一致するのは75より75秒ごとに一致する。
実際は10~20,30~40,50~60,…秒の間だけなのでこの場合に最初に一致するのは75秒です。
よって75秒とわかりました。

このとき赤は3.5×75=262.5m進むのでAからの距離は262.5÷15=17余り7.5から7.5m

○大問4
(1),(2)は基本的で落とせません。(3)も△ABC+扇形としてしまいそうですが筑駒受けるならばこの程度はミスがないようにとりたいですね。

(1)(ア)の操作後のAの位置をA’とするとCA=CA’=AA’で正三角形なので
30°+60°+60°=150°

(2)(ア)(イ)(ウ)の操作でBAはAを中心に150°回転し
Aは半径5cm、中心角60°×2=120°度の円弧をえがきます。
150°と360°の最小公倍数は150°×12=1800°より(ア)(イ)(ウ)を12回繰り返します。
2×5×3.14×120°/360°×12=12.56cm

(3)
tukubakoma_2019_m4-kaisetu1.jpg

回転させると図のように点Bの回転による弧BB’は線分ABから飛び出すので注意してください。
きっちり点Cを中心にそれぞれの点を60°回転させましょう。
弧BB’と線分ABとの交点をDとするとCB=CD,∠DBC=75°より∠DCB=30°とわかり30°問題なので△ABCの面積と△DBCの面積はわかります。
求める面積は
(扇形CBD)+(扇形CAA’)+(△ABC-△CBD)
=2.6×2.6×3.14×30°/360°+5×5×3.14×60°/360°+(5×5÷4-2.6×2.6÷4)
19.4122cm^2

(問題)2019年度 筑波大学附属駒場中学校 算数 大問2
長さが1cmのまっすぐな線をいくつか紙にかいて図形をつくります。
紙から鉛筆をはなさずに,この図形上のある1点Aから,すべての線をなぞってAに戻ることを考えます。
tukubakoma_2019_m2-1.jpg
例えば,4本の線でつくった図形1は,Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき,なぞった線の長さは4cmです。

tukubakoma_2019_m2-2.jpg

また,(あ)~(き)の7本の線でつくった図形2は,Aからすべての線を1回ずつなぞってAに戻ることはできませんが,(え)の線を2回なぞれば,他の線を1回ずつなぞってAに戻れます。このとき,なぞった線の長さは8cmです。

次の問いに答えなさい。
なお,すべての線をなぞってAに戻るまでの間で,Aを何度通ってもよいものとします。

(1)tukubakoma_2019_m2-3.jpg

(ア)~(コ)の10本の線でつくった図形3には,そのうち2本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さ12cmのなぞり方があります。
このとき,2回なぞる2本の線の選び方は2通ります。
それぞれの選び方で,2回なぞる2本の線はどれですか。
2回なぞる2本の線の組み合わせを,(ア)~(コ)の記号で答えなさい。

(2)tukubakoma_2019_m2-4.jpg
12本の線でつくった図形Aには,そのうち4本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さが16cmのなぞり方があります。このとき,2回なぞる4本の線の選び方は何通りありますか。

(3)tukubakoma_2019_m2-5.jpg
17本の線でつくった図形5には,そのうち5本の線を2回,他の線をちょうど1回ずつなぞってAに戻る,長さが22cmのなぞり方があります。このとき,2回なぞる5本の線の選び方は何通りありますか。

[解説]
一筆書きの問題です。
奇数本交わるところを奇点、偶数本交わるところを偶点とすると一筆書きが出来る条件は
○全て偶点である
または
○奇点が2つで奇点からはじまる

です。
この問題の場合は,Aからスタートするので全て偶点になればよいことになります。

一筆書きの問題のようにきっちり基本的事項は抑えているか,整理の仕方などが問われています。
(1)だけは落としてはいけません。
(2)と(3)どちらかは正解しておきたいです。

(1)tukubakoma_2019_m2-kaisetu1.jpg
奇点(赤色)が4つあるので,ここが偶点になるように2本線を入れて結びます。
緑の㋑と㋘,青の㋔と㋕
の2つになります。

(2)tukubakoma_2019_m2-kaisetu2.jpg
奇点がE,B,C,Dの4つあるので,ここが偶点になるように4本線を入れます。
Bは点Eか点Cか点Dと結ぶことになります。

BとE,CとDを結ぶ時,それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2=4通り

BとC,EとDを結ぶ時,それぞれ青の場合と緑の場合の2通りずつで2×2=4通り

BとD,CとEを結んだ時の1通りを2重に数えてるので4+4-1=7通り

(3)tukubakoma_2019_m2-kaisetu3.jpg
BとG,CとD,EとFを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2=4通り
BとC,GとF,DとEを結ぶとき青と緑の2通りずつで2×2=4通り
BとE,GとF,CとDを結ぶとき1通り
よって4+4+1=9通りになります。(畠田)

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