今回は灘中学、算数1日目の大問7をとりあげたいと思います。
一見N回目の出会いの問題に見えますが，出会いの度に折り返すし，速さも遅くなります。
文字など置いて力技で解くこともできて，それはそれで大事なことですが，算数の速さの問題としてもアプローチの仕方
『時間、距離、速さ、何が一定か』
『和と差を考えてみる』
に注目するという勉強になる良い問題と思います。
(問題)2019年度 灘中学校 算数第1日目 大問7
A地点とB地点を結ぶ道を，太郎君はAからBへ，次郎君はBからAへ向かって，それぞれ一定の速さで同時に走り始めました。2人の間の距離は3分間に1kmの割合で縮まりました。途中，2人はC地点で出会うとすぐに折り返し，速さをそれぞれ時速1kmだけおとして，来た道を戻りました。2人はそれぞれA,Bに到着してすぐに折り返し，Cよりも130mだけAに近いD地点で再び出会いました。Dで出会った2人はまたすぐに折り返し，速さをさらにそれぞれ時速1kmだけおとして，来た道を戻りました。そして，2人はそれぞれA,Bに到着してすぐに折り返し，Dよりも[ ]mだけAに近いE地点で出会いました。
[解説]
まず和を考えてみると
折り返してから出会いまでの太郎と次郎の進んだ長さの和が、AB二つ分で一定
→速さの和と時間が逆比
走り始めてから最初の出会いまではAB一つ分ですが二人ともC地点から太郎はAに次郎はBに向かって同時にスタートして折り返してきて1回目の出会いになったと考えれば太郎と次郎の進んだ長さの和がAB二つ分になるので扱いやすくなります。
二人の速さの和は
○～△：1÷3 km/分＝1000/3 m/分
△～☐：1 km/時＝1000/60 m/分＝50/3 m/分ずつ遅くなるので1000/3－50/3×2＝900/3 m/分
☐～●：300－50/3×3＝800/3 m/分
距離が一定なので(○～△),(△～☐),(☐～●)の時間の比は
1000/3:900/3:800/3＝10:9:8
なので速さの比は
9×8:8×10:10×9＝36:40:45
となります。
次に差を考えてみると
太郎と次郎の速さの差は常に一定
→太郎と次郎の進んだ距離の差と時間が比例
太郎と次郎は1km/時ずつ遅くなっても，差はかわりません。
ということは太郎と次郎の進んだ距離の差は時間に比例します。
ABの中点をMとしてC,D,EをMについて対称移動した点をC’,D’,E’とすると太郎と次郎の進んだ距離の差は
○～△：CC’2つ分
△～☐：DD’2つ分
☐～●：EE’2つ分
それぞれ時間に比例するので36:40:45になります。
よって差の半分である図の青い線の部分も36:40:45になるのでそれぞれの長さを[36],[40],[45]とおくと
CM＝[36÷2]＝[18]
CD＝[40]－[36]=[4]
ED＝[45]－[40]－[4]＝[1]
よってCD:ED＝4:1よりED=130÷4＝32.5m
(畠田)
