今回は慶應義塾中等部です。
問題の難易度は高くないので男子なら8割5分、女子なら9割を目標にしましょう。
標準的な問題を早く正確に処理することが求められます。
(問題)H30年 慶應義塾中等部 大問7
同じ大きさの正三角形のタイルが140枚あります。このタイルをすき間なく並べて、正三角形または正六角形をつくります。[図1],[図2]はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。
次の[ ]に適当な数をいれなさい。
(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で[ ]枚使います。
(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、正三角形をつくるのに使うタイルは[ア]枚、正六角形をつくるのに使うタイルは[イ]枚です。
(1)
まずは手を動かして正三角形になる場合を書いてみて実験してみます。
小さいものから順に1枚,4枚,9枚,16枚となっていくので平方数であることがわかります。
よって140枚をこえない最大の平方数を考えて11×11＝121枚です。
(2)
今度は正六角形になる場合はどんな場合か書いてみて実験してみます。
すると，正三角形の6倍であることに気付いてきます。
正六角形は(平方数)×6枚と言うことになります。
正三角形と正六角形の枚数が140をこえない場合を考えることになりますが，正六角形の枚数である(平方数)×6の方が荒いのでこちらの値で場合分けすることにします。
(1×1)×6＝6枚，(2×2)×6＝24枚，(3×3)×6＝54枚，(4×4)×6＝96枚
で(5×5)×6＝150は140を超えて4パターンの値しかありません。
●正六角形の枚数が6枚の時
残り140－6＝134枚
最大になる正三角形は11×11＝121枚
余ったタイルは134－121＝13枚
●正六角形の枚数が24枚の時
残り140－24＝116枚
最大になる正三角形は10×10＝100枚
余ったタイルは116－100＝16枚
●正六角形の枚数が54枚の時
残り140－54＝86枚
最大になる正三角形は9×9＝81枚
余ったタイルは86－81＝5枚
●正六角形の枚数が96枚の時
残り140－96＝44枚
最大になる正三角形は6×6＝36枚
余ったタイルは44－36＝8枚
以上より余ったタイルが5枚の場合が一番少なく
正三角形が81枚、正六角形が54枚となります。
このような処理能力を求められてる学校の問題では、考えて悩むのではなく、手を動かして書いてみて掴んでいきましょう(畠田)
