数理教育研究会

渋谷教育学園幕張

渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)第1次

今回は渋谷教育学園幕張中学の一次入試を取り扱います。

【入試資料分析】
例年は合格者を730人前後とるところを、今年は受験者数はかわらないのに合格者数は630人しかとらず厳しいになったと思われます。
男子
受験者数1441人 合格者数464人
女子
受験者数617人 合格者数166人
合計
受験者数2058人 合格者数630人 倍率3.3

各教科の平均点では算数の受験者平均と合格者平均の差が例年では10点程度ですが今年は13.8点とかなりあります。

算数は差がつきやすい試験だったと思われます。
(配点,受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(100,48.8,56.0)
算数(100,45.0,61.3)
社会(75,43.1,47.4)
理科(75,48.9,57.1)
合格最低点は204/350

合格者が少なかった影響もあってか合格者平均や合格最低点が比較的高くなっています。
特に算数は平均点と合格者平均の差が16点と例年に比べてかなり大きくなっています。

【問題分析】
大問1…継子立てです。難関校でかなりよく出てるので,よく練習していれば簡単だったと思います。2の累乗が残るまで取ると後は,取られ方が規則的になります。研究しておきましょう。

大問2…連続する整数の和であらわす問題です、これもかなりよく出る難関校の典型問題です。特に(4)は中学受験の算数らしく項数が奇数か偶数かでわけるより,高校数学っぽく(初項+末項)×(項数)÷2で考えた方がわかりやすかったかもしれません。何故,2の累乗の時だけ作れないのか考えてみてください。

大問3…非常に簡単な水の問題です。簡単すぎて戸惑ったかもしれません。

大問4…今回はこれを扱いたいと思います。

大問5…やはり渋幕なら出てくる切断の問題です。(1)は簡単です。(2)①も慣れていれば比とか考えて特に問題なくすぐに答えられたと思います。②は少し工夫しないといけません。しかし例年より比較的簡単であったように思います。

(問題)R2年 渋谷教育学園幕張中学校 一次入試 大問4
(1)図1のように直角三角形ABCにACを1辺とする正方形とBCを1辺とする正方形をかき、2つの点D,Eを直線で結びます。このとき,三角形CDEの面積は何cm^2ですか。
sibumaku20m1.jpg

(2)図2のように直角三角形ABCと,AD,BD,CDをそれぞれ1辺とする正方形があります。このとき,CDを1辺とする正方形の面積は何cm^2ですか。
sibumakum2.jpg

(3)AB=AD,AD:DC=2:3,角Aの大きさが150°,角Dの大きさが90°である四角形ABCDがあります。辺BCをのばしたところに2つの点E,Fをとります。次に,直角三角形AEGと直角三角形DFHをかいたところ,図3のようになりました。直線ADと直線GHが平行のとき,三角形ABEは三角形DCFの面積の何倍ですか。
sibumaku20m3.jpg

[解説]
(1)
shibumaku_2020_kaisetu1.jpg
この問題では2つの三角形のある角度の和が180°であれば、面積の比はその角をはさむ2辺の長さの積の比であることを使います。
2017年度の灘中学2日目の大問4や,2018年度の甲陽2日目の大問5にも出題されています。
特に図1のように2つの正方形で作られる三角形2つの形に使うことが多いです。

shibumaku_2020_m4-1_kaisetu1.jpg
△ABCと△CDEは∠ACB+∠DCE=180°なので面積の比はAC×BC:DC×ECの比に等しいですが、AD=DC,BC=ECより△CDEの面積は△ABCと等しくなり15°の直角三角形なので面積は大丈夫ですね。
(8×4÷2)÷2=8cm^2
とわかります。

(2)
shibumaku_2020_m4-2_kaisetu1.jpg
(ADを1辺とする正方形の面積)=1×1=1cm^2を☐倍すると(CDを1辺とする正方形の面積)
(CDを1辺とする正方形の面積)を☐倍すると(BDを1辺とする正方形の面積)=3×3=9cm^2なので☐×☐=9からA=3より
(CDを1辺とする正方形の面積)=3cm^2

(3)
shibumaku_2020_m4-3_kaisetu1-2.jpg
∠CDA=∠FDH=90度なので(1)のように考えると△DCF:△DAH=DC×DF:DA×DH=3×■:2×1
((2)から■×■=3)
同じように△ABEでも考えられないかと考えると,∠GAE=90°-60°=30°なので
∠EAB+∠DAH=360°-30°-150°=180°になっています。
だから△ABE:△AGD=AE×AB:AG×AD=2:■

するとAD//GHより△AGD=△DAHにいなるので
△DCF:△DAH=3×■:2=3×■×■:2×■=9:2×■
△ABE:△AGD=2:■=2×2:2×■=4:2×■
よって△ABEは△DCFの4/9倍

この問題もそうですが、今回は全体的に最難関校で出される難易度が高い典型問題ばかりでした。よく練習して考察していればスムーズに解けると思います。成果がわかりやすく出るので,しっかり勉強してください!(畠田)

渋谷教育学園幕張中学校 理科 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)第1次

今回は渋谷教育学園幕張中学の一次入試の理科を取り扱います。

【入試資料分析】
理科は
(配点,受験者平均点,合格者平均点)の順で
理科(75,48.9,57.1)
で去年に続いて更に平均点が高く、易化しました。

【問題分析】
大問1…光の問題です。(1)は少し意図がわかりにくいですが全体的にそんなに高い読解力も応用も求められておらず、標準的なテキストに載ってる鏡の光の経路を読んでいたかどうかです。問題を答えるだけなくテキストに載っている説明もよく読んでおきましょう。

大問2…生物の問題ですが、知識はほとんど求められておらず統計的なデータをどう扱うかを聞かれています。グラフで直線になるのは「死亡数が一定」、対数グラフで直線になるのは「死亡率が一定」というように数学的な考察力と高い読解力が問われました。慣れておきましょう。今回はこの(6)を扱います。

大問3…気象の問題です。基本的な知識と、よく問われそうな問題です。テキストの説明が標準的な問題をしっかり練習して点数を確保してください。

(問題)R2年 渋谷教育学園幕張中学校 一次入試 大問2(6)
昆虫Cはガの仲間で、サクラやヤナギの葉を食べる害虫として知られています。昆虫Cの幼虫は、脱皮を繰り返して7齢幼虫まで成長し、さなぎを経て成虫になります。卵から出た幼虫は意図を吐いて網状の巣を作り、集団で生活します。その後、ある齢の幼虫になると単独で生活をするようになります。単独での生活を始めると、他の昆虫や鳥に食われるので、急に死亡率が大きくなります。

ある年、昆虫Cの4287個の卵について、自然の状態での成長を追跡しました。
図4に各段階での個体数を示します。
sibumaku20r1.jpg

図4から昆虫Cについて考えられるこことして、[   ]に適するものを○で囲み、(   )を適切に補いなさい。

7齢幼虫とさなぎを比較すると、死亡数が多いのは[7齢幼虫・さなぎ]の段階である。また、死亡率が大きいのは[7齢幼虫・さなぎ]の段階である。
さなぎまでの各段階のうち、最も死亡率が小さいのは( ③ )の段階である。巣での集団生活をやめて単独での生活を始めるのは、( ④ )齢幼虫だと考えられる。

[解説]
グラフより7齢幼虫の段階では40匹から11匹までの40-11=29匹減りました。
さなぎの段階では11匹から7匹までの11-7=4匹減りました。
死亡数が多いのは7齢幼虫の段階です。

グラフの傾きが7齢幼虫の段階の方がさなぎの段階よりも大きいので,死亡率も7齢幼虫とわかります。

死亡率はグラフの傾きが対応しているので、最も死亡率が低いのは最も傾きが小さい卵の段階です

リード文から単独での生活を始めると急に死亡率が大きくなると書いてるので、単独での生活を始めるのは傾きが突然大きくなっている4齢幼虫の段階だと考えられます。

このグラフは対数グラフ(片対数グラフ)と呼ばれています。
問題文には具体的な数字の例で説明されていて,
目盛りの幅が一定であると、何倍になるのかが一定である
したがって直線であれば死亡率が一定
と読み取る高い読解力が必要となります。

まず普通のグラフにおいて
sibumaku20r2.jpg
昆虫Aのように直線になっている場合は各段階で死亡数が1665匹と一定となっています。
そして昆虫Bのように各段階でその時の個体数の70%死ぬなど死亡率が一定ということであれば直線になりません。

sibumaklu20r3.jpg

そこで個体数において常用対数(個体数が10の☐倍なら下から[1~10の幅]の☐倍の位置に目盛りをとる)をとって点を打てば直線となります。
このグラフは縦軸の幅が同じであれば、個体数が何倍になっているかも同じになっています。
したがって常に70%減るならば、減る目盛りの幅が同じになり直線になります。

対数グラフなど知っている必要はありませんが、過去問などで練習していたり、テキストの説明文はよく読んでおくようにしておきましょう。
渋幕の合格に近づくと思います、頑張ってください(畠田)

渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2019年(H31年)第1次

今回は渋谷教育学園幕張中学の一次をとりあげます。

【入試量分析】
倍率はここ数年と同じ程度です。
今年は女子が多いですね。
男子
受験者数1380人 合格者数556人
女子
受験者数632人 合格者数195人
合計
受験者数2012人 合格者数751人 倍率2.7

各教科の平均点では算数の受験者平均と合格者平均の差が例年では10点程度ですが今年は13.8点とかなりあります。

算数は差がつきやすい試験だったと思われます。
(配点,受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(100,46.7,54.7)
算数(100,39.4,53.2)
社会(75,45.7,51.2)
理科(75,42.7,52.2)
合格最低点は188/350

【問題分析】
〇大問1
辞書式に並べる順列の問題は1,2,3,4,…と置き換えておくとわかりやすくなります。
主に高校数学で出される問題ですが,辞書式順列の解法をやってるかどうかでかなりの差がつきそうです。
(1)
Aでは1→[1],4→[2],6→[3],7→[4],9→[5],Bでは2→[1],3→[2],4→[3],8→[4],9→[5]と置き換えます。
[1],[2],[3],[4],[5]から4つ選んで辞書式に並べたときの20番目の数は
20÷(3×2)=3余り2より上2桁は
[1],[2],[3],[4],[5]から4つ選んで辞書式に並べた4番目より[1][5]
残りの桁は[2],[3],[4]から2つ選んで辞書的に並べた2番目で[1][5][2][4]
よってAは1947,Bは2938

(2)
[1]はAは1,Bは2よりBの方が大きい
[2]はAは4,Bは3よりAが大きい
[3]はAは6,Bは4よりAが大きい
[4]はAは7,Bは8よりBが大きい
[5]はAは9,Bは9で同じ。
よってBの方が大きくなるのは
[1]…,4×3×2=24通り
[4]…,24通り
[5][1]… 3×2=6通り
[5][4]…6通り
なので24+24+6+6=60通り

(3)
[1]では2-1=1だけBが大きい
[2]では4-3=1だけAが大きい
[3]では6-4=2だけAが大きい
[4]では8-7=1だけBが大きい
[5]では9-9=0で同じ

上の桁から考えていきます。
[3]が一番差が大きく,2だけBよりAの方が大きいことから
[3][2][5][1],[3][2][5][4]
の2つある。
[3][2][5][1]は2×(4×3×2)+1×(3×2)+2×(2)+1=59番目
[3][2][5][4]は2×(4×3×2)+1×(3×2)+2×(2)+2=60番目

○大問2
見た感じからN進数の問題かなって思いますよね。
1段目は1がいくつあるか
2段目は3がいくつあるか
3段目は9がいくつあるか
4段目は27がいくつあるかの3進法の問題です。
(1)27
(2)1+9×2+27×1=46
(3)2019を3進数であらわすと
2019÷3=673,673÷3=224…1,224÷3=74…2,74÷3=24…2,24÷3=8,8÷3=2…2,
より2202210(3)であるので各桁が三角形の個数より
(2+2+0+2+2+1+0)×1×1×1/2=4.5cm²

○大問3
表にまとめるなど処理、整理に慣れていれば簡単にできます。
しかし駅についてからの待ち時間なので頭がこんがらがって焦ってしまいまそうです。
(1)A君がK駅につくのは2時において15+12=27分
27÷8=3余り3で8-3=5分待ち
A君がM駅につくのは15+14=29分
29÷5=5余り4で5-4=1分待ち
よってM駅の1分間
(2)

午後2時に出てK駅に行くと12÷8=1余り4で待ち時間8-4=4分。
M駅に行くと14÷5=2余り4で待ち時間5-4=1分

午後2時に出てそれぞれの駅についてから何分後に電車が出発するかを表にまとめる
shibumaku_2019_m3_kaisetu1 (2)
待ち時間が同じになるのは36分が共通なので赤の午後2時31分から午後2時36分まで


表の青の部分より3+1+4+2+3+1+4=18分

○大問4
応用度が高めの典型問題です。
(1)は何とかなるかもしれませんが、(2)は思いつかなくても見た感じ90°以外にはないので答えはわかりそうです。
(1)
shibumaku_2019_m4_kaisetu1.jpg

①図より青の補助線を考えると△ABCと△CBFは相似でBV=1/2cm,△ACDと△ACFは合同より
△ACD=△ACF=(2+1/2)×1÷2=5/4cm²

②図よりDC=CFから△CED=△CFE,△CEF:△CAE=BF:AB=1/2:2=1:4より図のように面積の比がおけて
CE:CB=(△ACE+△FCE):△ACF=(③+①+①):③=5:3から
CE=5/3×CB=5/3cm

(2)
shibumaku_2019_m4_kaisetu2.jpg

図のように直角二等辺三角形になるという問題がありますが
△DOAが赤い直角三角形と合同で,△BOAが青い直角三角形と合同で
x+yの半分は45°とわかり90°になります。

それでは大問5をとりあげます。
いかにも渋幕の最後の大問という感じの立体の切断の問題です。

(問題)H31年 渋谷教育学園幕張中学校 第1次 大問5
図のように、すべての面が平らな立体があり、辺ABと辺EFは平行で、辺BCと辺FG、辺CDと辺GH、辺DAと辺HEもそれぞれ平行です。
BC上に点Pを,CPの長さが2cmになるようにとります。また、DA上に点Qを、DQの長さが4cmになるようにとります。
shibumaku_2019_m5.jpg

このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3でもとめられるものとします。

(1)3つの点C,D,Fを通る平面でこの立体を切るとき、Aを含む立体の体積とAを含まない立体の体積の比を、できるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

(2)3つの点P,Q,Fを通る平面でこの立体を切ると、平面は辺AEと点Rで交わりました。
①ARの長さとREの長さの比を,できるだけ簡単な整数の比で表しなさい。
②Aを含む立体の体積とAを含まない立体の体積の比を、できるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

色々な解き方があると思いますが、難問は断頭三柱を見出して
(平均の高さ)×(断面の面積)
に持っていくと解ける問題がよくあります。
最初の方に考えてみていい解き方です。

(1)
shibumaku_2019_m5_kaisetu1.jpg
図1のようになるので断頭三角柱二つとみて解いてみます。

shibumaku_2019_m5_kaisetu2.jpg
辺ABに垂直な面で切った時の断面の面積の比は図2のように
(Aを含む方の三角形):(Aを含まない方の三角形)=8:12=2:3より

(AB,EF,DCの平均の高さ)×(Aを含む方の三角形):(EF,GH,CDの平均の高さ)×(Aを含まない方の三角形)
を考えます。
(6+6+9)/3×2:(6+9+9)/3×3=7:12

(2)

shibumaku_2019_m5_kaisetu3.jpg
図3のようにBA,PQ,FRを延長すると1点Sで交わり赤い三角形の相似比を考えるのが一つの方法です。
SA:SB=AQ:BP=4:6=2:3なのでSA:AB=2:(3-2)=2:1
よってSA=2×AB=12cm
AR:ER=SA:FE=12:9=4:3


shibumaku_2019_m5_kaisetu4.jpg
図4のように平面AFGDで切断して断頭三角柱で考える。

shibumaku_2019_m5_kaisetu5.jpg
ADに垂直な面で切った時の断面の面積の比は図5のように
(上の三角形):(下の三角形)=6:9=2:3
となる。
よってFFの記号は長さ0として
(点Aを含む体積):(元の立体の体積)=
((AQ,BP,FFの平均の高さ)×(上の三角形)+(AQ,RR,FFの平均の高さ)×(下の三角形)×4/7):(AD,BC,FGの平均の高さ)×(上の三角形)+(AD,EH,FGの平均の高さ)×(下の三角形)
=((6+4+0)/3×2+(4+0+0)/3×4/7):((8+8+12)/3×2+(12+12+8)/3×3)
=47:266
よって47:(266-47)=47:219(畠田)

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