数理教育研究会

算数

早稲田実業学校中等部 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は早稲田実業学校中等部の算数を扱います。

【入試資料分析】
受験者数
男子359
女子222

合格者数
男子102
女子55

実質倍率
男子3.52
女子4.04

合格最低点
男子194点
女子214点

各科目の受験者平均は
国語63.0/100
算数57.6/100
社会27.4/50
理科28.0/50

女子の難易度が高い

【問題分析】
大問1…(1)適度な計算問題です。必ずあわせたい。
(2)定石の比の問題。素早くあわせたい。
(3)定石の道のりの場合の数の問題。イチイチ解法などで素早くあわせたい。
(4)色々な求め方あると思いますが、例えば断頭三角柱ととらえて平均の高さを求めて体積を出せます。しかし面倒な方法になったとしても、これはあわせたい。

大問2…(1)今回はこの問題を扱います。
(2)群数列の問題です。典型でそんなに複雑でもないので満点を狙いたい。

大問3…(1)歩数と歩幅の典型問題です。すぐにあわせたい(2)ダイアグラムを見ると太郎と花子の速さの比は2:1とわかります。よって3人の速さの比がわかります。そうすると、それぞれの出会いにおいて速さの和の比を考えることが出来るので道のりはABで同じことから時間の比は速さの和の比の逆比になります。すると太郎君の進んだ距離は時間の比になります。(3)(2)よりAC,CD,DBの長さがそれぞれ求まります。と言うことは太郎君の速さが求まるので次郎君の速さも求まります。少し高度ではありますが、旅人算の定石で解けるのであわせていきたい。

大問4…(1)仕事算の典型問題です。(2)典型的な食塩水の濃度の問題です。(3)容積に関する式と濃度に関する式を二つ立てて消去算の構造になります。計算が大変です。

大問5…円の半径から直角三角形の長さがわかっていきます。そして合同や相似な直角三角形を見つけていくことができます。3:4:5の直角三角形とわかっていきます。
直角三角形の直角でない角度を○と×とでも書いて同じ角度のところに印を入れていくなどの整理の仕方を練習しているかが効いてきます。ややこしいですが、(1),(2)くらいまであわせられたらなと思います。

(問題)早稲田実業学校中等部 大問2の(1)
下の図は、文字盤のない時計を長針が真上にくるようにおいたものです。このとき,(あ)と(え)の角の大きさの比は1:2,(い)と(う)の角の大きさの比は3:1となりました。次の①,②に答えなさい。

①(う)の角度を求めなさい。

②この時計は何時何分を表していますか。
soujitu20m1.jpg

[解説]
①(あ)+(い)=60°,(う)+(え)=30°
です
(あ)と(え)の角の大きさの比は1:2より(あ)=[1],(え)=[2]
(い)と(う)の角の大きさの比は3:1より(い)=<3>,(う)=<1>
とおけます。

すると
[1]+<3>=60°
[2]+<1>=30°

消去算より
(上の式)×2-(下の式):
<5>=90°
から
<1>=18°
[1]=6°
とわかりました。

時計算なので6:0.5:5.5を使うと見せかけて、まだ使わないので騙されないように条件を整理しましょう。

(2)(う)は長針が0分をさしているとき0°です。
長針が1分すすむと0.5°進みます。

これらのことから長針は
18÷0.5=36分
をさしています。

と言うことは36分戻すには長針を反時計回りに8個目のメモリに戻せばよくなります。

この時、長針から見て針は反時計回りに90°なのでこの時間は9時とわかります。

よって9時36分

早稲田実業はどの大問も定石の解法はよく問われますが、小問によっては複雑になりがちです。
しっかり抑えるところは抑えて、複雑な問題はいくつか正解しておけばアドバンテージになります。がんばってください(畠田)

青山学院中等部 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は青山学院中等部の算数を扱います。

【入試資料分析】
受験者数
男子 396人
女子 489人

合格者数
男子 119人
女子 90人

実質倍率
男子 3.3
女子 5.4

合格最低点
男子 178点
女子 200点

例年通り女子の倍率が高く、合格最低点も高くなっています。

【問題分析】
大問1,2,3…計算問題です。無理がなく、綺麗な値になる計算なのでしっかり分数などの計算の要領を身につけて満点をとりたい。

大問4…単位や縮尺の問題。意外と間違えるというようなことはないようにチェックしていきたい。

大問5…比をおいて表にして埋めていく典型問題。しっかり解法をマスターしておきたい。

大問6…そのまま順番通り計算していくだけです。フローチャートなど書いて整理して確実に答えたい。

大問7…旅人算というほどでもない問題です。読み間違えないように、わかっていてもダイアグラムなど書いて正確に把握したい。

大問8…平均点の問題。人数を求めるところは面積で逆比を考えたり、天びん法を使うと方程式っぽくならなくて便利ですが、その後の平均点を求めるところはむしろ複雑になるので原始的に合計を考えた方がやりやすいと思われます。そういう意味でやりにくい

大問9…今回はこれを扱います。

大問10…AのキャンディとBのキャンディの量を比から[400]gと[500]gといておいて合計を計算していってもよいですが方程式のようにはなります。
食塩水の問題のように100gあたりの値段を濃度に対応させて天びん法や面積図で解いても良いです。

大問11…丁寧に図を書けば単純な図形です。しっかりあわせたい。

大問12…中心Oから弦FDや弦BEに垂線をおろすと2:1の直角三角形が見えてきます。

大問13…どれも奥行きの10cmは共通なので面積が等しいで解きます。

大問14…250円が「あんパンとクリームパン」と「カレーパンのみ」の合計になっているところが注意です。方程式をおそれずそれぞれ式にあらわして式を整理して消去算で解きましょう。

(問題)青山学院中等部 算数 大問9
兄と弟はエスカレーターに乗ってホームのある階から改札のある階まで移動します。兄が5段歩いて上がる間に弟は3段歩いて上がると、兄は50段、弟は40段歩いたところで改札のある階に着きました。エスカレーターの段数は[  ]段です。

[解説]
まず何が一定かを考えます。
ここでは段数が進んだ距離に対応します。
兄が5段歩いてる上がる間に弟は3段歩いて上がるという文章からは時間が同じです。
つまり進んだ段数の比と速さの比は等しくなります。
兄と弟の速さの比は5:3となります。

兄は50段,弟は40段歩いたところで改札のある階に着きましたという文章から兄と弟が進んだ距離になります。
よってこの進んだ距離を速さで割った比はエスカレーターを歩いていた時間の比になります。
兄と弟の階段を歩いていた時間の比は
50÷5:40÷3=3:4

エスカレーターが進む速さは兄も弟も同じはずなので、時間の比はエスカレーターが進んだ段数の比になります。

兄は自分で50段進みエスカレーターは[3]段進んだ

弟は自分で40段進みエスカレーターは[4]段進んだ。

この段数は同じはずなので
50-40=[4]-[3]で[1]=10となります。

よってエスカレーターの段数は50+[3]=80段とわかりました。

しっかり定石を身につけていくことで合格に近づきます!頑張ってください(畠田)

栄光学園中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は栄光学園聖中学の算数をとりあげます

【入試資料分析】

受験者数は780人で合格者数263人の実質倍率2.97倍。
合格最低点141/240、合格者平均点154.5/240

各教科の平均点は(受験者平均点/合格者平均点)の順で
国語70点満点(36.5/41.9)
算数70点満点(38.1/47.9)
理科50点満点(32.0/36.8)
社会50点満点(24.4/27.49)

ここ1,2年倍率が高めで例年程度の平均点となりました。

【問題分析】
大問1…平均の問題です。(1)は典型問題です。(2)は残った整数の和が600ということですが1つ取り除いてもそんなに大きさはかわらないので1から最後まで整数を足した和が600付近を考えればよいことになります。(3)目星をどのようにつけるかです。残った整数の平均は440/13というように分母が13なので残った整数は13の倍数個ということがわかります。そして平均値は440/13とある程度大きくなければなりません。そして1つ取り除いてもあまり平均値はかわりません。このことから,1から(13の倍数)+1個までの平均値が440/13に近いものを考えればよく
440/13=34.…の2倍は68で65=13×5より66個で考えたら良さそうだとわかります。
1つ取り除いても平均値はあまりかわらないという、そういう見方が出来ているかが問われいています。

大問2…普通の時計算と違い秒針まで考える問題です。しかし(1)(2)については時針と分針でやったことを応用すればよいので考えやすいと思います。
(3)は時針と分針が重なる度に(2)の②で求めた角度だけ秒針がずれていきます。誘導になっていたわけです。全て調べるのは大変ですが、0時から逆再生しても角度が同じことを考えると半分調べればよいことがわかります。(4)も(3)が誘導になっているであろうと思うので、秒針を戻したり、進めて時針や分針と重なる場合を考えればよくなります。時計算を応用させることと、誘導をいかに使うかです。

大問3…反射の問題なので線対称移動していけばよいです。
そして比で求めることになります。
しかし(4)については対象移動したときにどの辺が対応しているかしっかり考えないといけないので深い理解と考察が必要です。

大問4…今回はこれを扱いますす。

(問題)栄光学園中学 算数 大問4 (4) (5)
図1のような、16枚のパネルと8つのボタンA,B,C,D,E,F,G,Hがあります。最初は、すべてのパネルに「○」が表示されています。
eikou20m1.jpg

ボタンA,B,C,Dはそれぞれのボタンの下に並ぶ縦4枚のパネルに対応し、ボタンE,F,G,Hはそれぞれのボタンの右に並ぶ横4枚のパネルに対応しています。各パネルは、対応するボタンが押されるたびに、○→△→×→○→△→×→○→…と、表示されている記号が変化していきます。
例えば、最初の状態から、ボタンAを押すと図2のようになり、さらにボタンE,ボタンAの順番で押すと,図3,4のように変化します。
eikou20m2.jpg

(4)最初の状態から,ボタンA,Bは1回も押さず、ボタンCは1回,ボタンDは2回押しました。EからHのボタンはどのように押したか分からないとき、○が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

(5)最初の状態から何回かボタンを押したとき,〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

[解説]
(1)と(2)と(3)は解説は省略させてもらいます。

(4)
Aは0回、Bは0回、Cは1回、Dは2回を押すと
横の列のボタンを何回か押すと

○○△×の○が2個の場合
△△×○と××○△の○が1個の場合

になります。
ということは○の個数は4つ横の列の○の個数を考えて
1,1,1,1の時,4個
1,1,1,2の時,5個
1,1,2,2の時,6個
1,2,2,2の時,7個
2,2,2,2の時,8個
となります。
よって4,5,6,7,8が考えられます。

(5) (4)では
縦の列のボタンが0回、0回、1回、2回の組み合わせの時に横の列のボタンを押すと

○○△×の○が2個の場合
△△×○と××○△の○が1個の場合

となりました。
何故このような問いがあったのかを考えると、縦の列のボタンの回数の組み合わせによって横のボタンを押した時に○の増え方がかわるからです。
ということは同じように他のパターンを考えていけばよいことになります。

(2)の考察により縦の列のボタンの回数の組み合わせは
1回,1回,2回,0回なども0回,0回,1回,2回の場合と出来る○の個数は同じになります。

よって縦列のボタンの回数の数字が3個あるパターンはこれで全部です。

・縦列のボタンの回数の数字が2個の場合

●縦列のボタンの回数の同じ数字が3個と1個の場合

横の列のボタンを押すと
△△△×や×××△の0個
○△△△や○×××の1個
○○○△や○○○×の3個

になるので
0,0,0,0で0個
0,0,0,1で1個
0,0,1,1で2個
0,1,1,1で3個
1,1,1,1で4個
0,1,1,3で5個
1,1,1,3で6個
0,1,3,3で7個
1,1,3,3で8個
0,3,3,3で9個
1,3,3,3で10個
3,3,3,3で12個
の場合があります。

●縦列のボタンの回数の数字が2個と2個の場合

横列のボタンを押すと
○○△△や○○××の2個
△△××の0個
なので

0,0,0,0で0個
0,0,0,2で2個
0,0,2,2で4個
0,2,2,2で6個
2,2,2,2で8個
の場合があります。

・縦列のボタンの回数の数字が全部同じ場合

横列のボタンを押すと
○○○○の4個
△△△△や××××の0個
なので

0,0,0,0で0個
0,0,0,4で4個
0,0,4,4で8個
0,4,4,4で12個
4,4,4,4で16個
の場合があります。

(4)と以上より
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16
とわかりました。

栄光学園ではかなり深い問題が出題されます。僕は大問4は数学検定でも類題を見たことあります。
深い問題ですがその分、その場で考えてわかってもらうために誘導をしっかりつけることが多いので、前の問は何が言いたかったのか考える練習をしていくことで合格に近づきます!(畠田)

聖光学院中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は聖光学院の第1回をとりあげます

【入試資料分析】
第1回は受験者数は697人、合格者数は231で実質倍率は3.02倍

科目別得点結果は(科目,満点,平均点,合格者平均,合格最低点)の順に
(国語,150,89.7,103.8,68)
(算数,150,84.1,107.1,60)
(理科,100,75.5,84.4,63)
(社会,100,63.6,70.9,47)
(合計,500,312.9,366.3,342)

算数はここ数年では低めですが、ほぼ例年通りの平均点となりました。

【問題分析】
大問1…(1)基本的な計算問題です、しっかりあわせましょう。(2)群数列です、当たり前のように出来てほしいところです。(3)基本的な時計算。満点を狙いたい。

大問2…今回はこれを扱います。

大問3…旅人算の問題です。ややこしそうですが、ダイアグラムなどを書いて時間の比を書いていくと意外とそんなに難しくなく、勉強しただけ報われます。点数を稼ぎたい。

大問4…立方体の切断や正射影の問題です。(1)正射影からP,Q,Rの位置はわかりやすいとは思います。体積は立方体を半分にして三角すい2つと四角すい1つを取り除くなど少し工夫が必要ですが、あわせたい。(2)△FGHを底面とした三角すいT-FGHとS-FGHとB-FGHは高さ1:2:3です。あまりややこしい図ではないので出来れば正解したい。

大問5…(1)△PAB+△PDE=1/3というように向かい合う三角形の面積の和は正六角形の1/3であることや,△ABCは正六角形の1/6であることなど使います。(2)1/4が二つあるパターンは隣り合う場合と、間に1つ三角形が入る場合の2パターンあります。後は面積が同じことより対称性など利用すれば(1)のように解けます。(3)1/4になるのは向かい合う三角形が1/4と1/12になる時で高さの比は3:1です。そんなに難しいわけでもないので出来れば点数を確保したい。


(問題)聖光学院中学 第1回 大問2
2つのボタンA,Bがついた,数を表示する機械があります。この機械の最初の状では3が表示されており,ボタンを押すことによって,次のように表示される数が変わります。

ボタンAを押すと,押す前に表示されていた数に3を加えた数が新しく表示される。
ボタンBを押すと,押す前に表示されていた数に3をかけた数が新しく表示される。

たとえば,最初の状態からボタンAを押すと6が表示され,次にBを押すと18が表示され,さらにAを押すと21が表示されます。
このとき,次の問いに答えなさい。

(1)最初の状態から,順にB,B,A,A,B,Aとボタンを押したとき,最後に表示される数を答えなさい。

(2)最初の状態から何回かボタンを押して,最後に333が表示されるようなボタンの押し方のうち,ボタンを押す回数が最も少ないのは何回ですか。

(3)最初の状態から6回ボタンを押して,最後に偶数が表示されるようなボタンの押し方は全部で何通りありますか。

(4)最初の状態から何回かボタンを押して,最後に36が表示されるようなボタンの押し方は全部で何通りありますか。

[解説]
(1)計算だけして簡単に答えます。

(3×3×3+3+3)×3+3=102

(2)この問題は3進法であらわすとわかりやすくなります。

例えば3進法で121010であらわされる数は

ボタンAを押すと3足されるので
121020
というように下から2つ目の位が1つ増えます。

ボタンBを押すと3倍されるので
1210200
というように下に0が一つ増えます。

333は3進法であらわすと
110100
なので最初の3つまり3進法では10でスタートさせて最短で110100にすると
上から作っていけばいいので
10(B)→100(A)→110(B)→1100(B)→11000(A)→11010(B)→110100
6回となります。

(3)Aでは3を加えるので
(奇数)に3をたすと(偶数)
(偶数)に3をたすと(奇数)
のようにAは偶奇が入れ替わります。

Bでは3をかけるので
(奇数)の時に3をかけると(奇数)
(偶数)の時に3をかけると(偶数)
のようにBでは偶奇はそのままです。

最後に偶数が表示されるということはAは奇数回となります。

Aが1回の時,Bが6-1=5回でAが1つとBが5つを並べて6通り

Aが3回の時,Bが6-3=3回でAが3つとBが3つを並べて6×5×4/(3×2×1)=20通り

Aが5回の時,Bが6-5=1回でAが5つとBが1つを並べて6通り

よって合計6+20+6=12通りとなります。

(4)(2)でやったように
ボタンAを押すと3足されるので
121020
というように下から2つ目の位が1つ増え

ボタンBを押すと3倍されるので
1210200
というように下に0が一つ増えました。

3からスタートより一番下はそもそもずっと3なので
3進法であらわしたものを一番下の0を消して
1からスタートして

ボタンAを押すと一番下の位が1つ増える。
ボタンBを押すと一番下に0が1つ増える

で考えることにします。

逆に戻していくと

一番下の桁が0の時は
Aの逆をして1を減らす
Bの逆をして一番下の0を消す

一番下の桁が0以外の時は
Aの逆をして1を減らすしか出来ないので0になるまでAを連続して使う

ことになります。

36を3進法であらわすと
1100
なので一番下の0を取り除いて
110
で考えます。

seikougakuin_2020_kaisetu.jpg

よって図より7通りとわかりました。

この問題はn進法の問題として類題がある問題です。
普段から色々な問題を解いておくとアドバンテージになるのであらゆる問題を経験しておきましょう!(畠田)

四天王寺中学校 入試分析 算数 2020(R2)

今回は四天王寺中学校です

【入試資料分析】

医志コースと英数Ⅰ・Ⅱ合算
受験者数736 合格者数456 実質倍率1.61 合格最低点230/400

医志コースと英数Ⅱ合算
受験者数736 合格者数278 実質倍率2.65 合格最低点266/400

医志コース
受験者数547 合格者数93 実質倍率5.88 合格最低点299/400

各教科の平均点は
(科目,受験者平均,合格者平均,最高点,満点)
(国語,72,76,106,120)
(社会,55,58,76,80)
(算数,74,81,120,120)
(理科,54,56,77,80)
医志コースと英数ⅠⅡの合算なのであまり参考にならないかもしれません。

しかし算数は得点率は高めでミスが許されなかったであろうと言うことがわかります。

【問題分析】
大問1…シンプルな計算問題です。必ずあわせたい。

大問2…相似を使うよく練習した形と思うのであわせたい。

大問3…例題的な仕事算。さらっと正解したい。

大問4…群数列の問題です。いつもと同じことしか聞かれていないので練習していって、正解をしておきたい。

大問5…今回はこれを扱います。

大問6…①は池を回る例題みたいな旅人算です。②はグラフというヒントが与えられているためやりやすかったかもしれません。しかしPとQが重なったときも三角形ができないことを忘れないように気を付けてください。

大問7…①平行な面と切断面の交わる二つの直線は平行であるなど、断面で使う方法で断面がどうなっているかわかります。
②(上+下)×高さの比ですね。
③切り口の赤の台形がわかりにくいと思いますが、切り口の白の三角形の面積の3/4倍です。そして白の三角形は三角すいを展開すると正方形になるから、それで面積が求められるというパターンです。これは使わないか毎回疑ってみてください。

(問題)四天王寺中学 大問5
10円硬貨が6枚あり、机の上に表を上にして横一列に並べます。
1個のさいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左から順に硬貨を裏返す操作をします
この操作を3回くり返した後の硬貨の表裏について考えます。
例えば,さいころの目が,順に2,3,2のとき,硬貨の表裏は図のように変化し,「裏裏裏表表表」になります。
siten20m1.jpg
①さいころの目が,順に3,6,1のとき,表は何枚になりますか。

②6枚の硬貨が「裏裏裏裏裏表」になりました。このとき,考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。

③6枚の硬貨のうち,裏は5枚になりました。このとき,考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。

[解説]
①○を表、×を裏とします。
さいころの目が3,6,1と出ると次のように変化します。
×××○○○
○○○×××
×○○×××
よって表は2枚です。

②0回を含む偶数回ひっくり返すと表、奇数回ひっくり返ると裏になります。
まず左から1~5番目までは裏なので
それぞれひっくり返った回数は1回か3回となります。
左から6番目は表なので0回か2回になります。

またひっくり返る回数は
(左の硬貨)≧(右の硬貨)
でなければいけません。

そして3は必ずどこかに必要です。

(ひっくり返った回数)→(3回のさいころの目の組み合わせ)→(目を並べると何通りあるか)
を書くと
333330→(5,5,5)→1通り
333332→(6,6,5)→3通り
333310→(5,4,4)→3通り
333100→(5,3,3)→3通り
331000→(5,2,2)→3通り
310000→(5,1,1)→3通り
よって3×5+1=16通り

とわかりました。


×××××○は②より16通り
××××○×はそれぞれひっくり返った回数は333321だけで、さいころの目の組み合わせは(4,5,6)これを並べて3×2=6通り
×××○××も同様に333211より(3,4,5)で6通り
××○×××も同様に6通り
×○××××も同様に6通り
○×××××は一番左は必ず3回ひっくり返るのでありません。

よって16+6×4=40通り

とわかりました。

書き上げていって規則性を掴んでいくのがポイントです。練習して合格に近づきましょう!(畠田)

慶應義塾中等部 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は慶應義塾中等部を扱います。

今年度は難しい問題も混ざっていたので、時間配分や、どのあたりで切り上げて次の問題にいくか立ち回りが難しそうだと思いました。

【問題分析】
大問1…(1)(2)は王道な計算問題、こういうのはあわせないといけない。(3)循環小数ですが、周期は6桁という少し長めなのが慶應中等部らしいです。(4)よくある場合の数です、瞬殺したい。

大問2…(1)基本的な通過算、瞬殺したい。(2)約数全部足す公式は使う学校そこそこあるので、覚えていてもよいと思います。(3)基本的な旅人算、瞬殺したい。(4)比の問題です、読み間違えないよう瞬殺したい。

大問3…(1)ベンツ切り(チェバの定理)の典型問題なので瞬殺できるように仕上げていきましょう。(2)基本的な平面図形の問題が流れている中、やったことないと時間内に解くのは厳しい問題が突然出ています。ツルを折るときのように折る問題です。知らなかったら飛ばす高い決断能力を求められています。(3)典型的な図形問題ですね。(4)難しそうに見えて意外と簡単です。3.14は最後にかけるようにすることを求められているだけです。
大問4…水の体積の問題。底面積は(高さ)÷(時間)の逆比になるやら典型的な解法だけですが、確実に早く合わせないといけないのでよく練習しておきましょう。

大問5…群数列の問題ですが、これはどうなのかって言うぐらい丸まま高校数学の問題です。(1)まず何群目に入るか、その次にその中で何番目か。(2)300は何群目の何番目か、群ごとに和をだして、それを足しあげる。解法をしっかり身につけておきましょう。

大問6…計算も処理も簡単ですが、特に(2)は問題文を読み取り、どう処理をしていいかの判断が難しめです。(1)は見えていないところを全部白にするか黒にするかぐらいではあります。(2)はつるかめ算で白と黒の個数をだして、表面に黒をおくときは場所に何面出てくるか違うことを読み取らないといけません。

大問7…今回はこの問題を扱います。

(問題)慶應義塾中等部 大問7
1個180円のシュークリームと、1個220円のプリンがあります。シュークリーム5個のセットだと800円で買え、プリン6個のセットだと1200円で買えます。さらに、シュークリームとプリン2個ずつのセットだと650円で買うことができます。例えば、シュークリームを5個買う場合、シュークリーム5個のセットで800円で買うこともできますし、1個180円のシュークリームを5個で900円で買うことも出来ます。次の[   ]に適当な数を入れなさい。
(1)5000円以内でプリンを少なくとも5個買うとき、シュークリームは最大[   ]個買えます。

(2)シュークリームとプリン合わせて50個買って、代金がちょうど10000円になるような買い方を考えます。この条件の下で、プリンをできるだけ多く買いたい太郎君は、プリンを[ア]個買いました。また、同じ条件の下で、シュークリームをできるだけ多く買いたい二郎君は、シュークリームを[イ]個買いました。

[解答]
(1)この大問の難しさは、どういう考え方の枠組みを作ったら良いかです。

それではまず条件を整理して、それぞれの買い方が1個当たり何円になっているかを見ていくと

まず単体では
シュークリーム単体1個180円
プリン単体1個220円
シュークリーム5個セットは1個当たり800÷5=160円
プリン6個セットは1個当たり1200÷6=200円
シュークリームとプリン2個ずつのセットは1個あたり650÷4=162.5円、ただしプリンまたはシュークリームを1個欲しかったと考えると650÷2=325円

どう組み合わせればよいか、これ以上は考えてもややこしくて頭痛くなりそうですが、
プリンを出来るだけ少なく5個以上買わないといけないことは確かです。
なのでプリンを出来るだけ少なく5個以上買う方法で場合分けしてみます。

○プリン単体で5個買う
○プリン6個セットを買う
○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買う
の3つの場合に分けることができます。

○プリン単体で5個買ったとき
残りの金額は5000-220×5=3900円
買えるシュークリームの個数はまずは1個当たりの安いシュークリーム5個セットを出来るだけ買って
3900÷800=4余り700
残り700円は単体で買えばよくて700÷180=3余り160円
よってシュークリームは5×4+3=23個買えます。

○プリン6個セットを買ったとき
残りの金額は5000-1200=3800円
同様にして
3800÷800=4余り600
600÷180=3余り40円
よってシュークリームは23個。

○シュークリームとプリン2個ずつのセットを3セット買ったとき
残りの金額は5000-650×3=3050円
同様にして
3050÷800=3余り650
650÷180=3余り110
よってシュークリームは2×3+5×3+3=24個

以上よりシュークリームは最大24個とわかりました。

(2)
[ア]
どう考えていくか難しいところですが
合計10000円だけでなく合計50個という条件もついています。
ちょうど10000円になるようにプリンを出来るだけ買うことを考えてもなかなか難しいです。
そこで関西の塾でよくやる、つるかめ算
プリン50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます。

○プリン50個買うと
プリンはシュークリームとプリン2個ずつのセットは使えないので単体220円,6個セットで1個当たり200円なので基本的に200円以上になります。
できるだけ安く買うと50÷6=8あまり2より
(プリン6個セット)×8+(プリン単体)×2=10040円

○プリン49個買うと
出来るだけ安く買うには
(プリン6個セット)×8+(プリン単体)×1+(シュークリーム単体)×1=10000円
とちょうど10000円になりました。

よってプリンを出来るだけ多く買うと49個とわかりました。

[イ]同じようにしてシュークリーム50個買ってみて1個ずつ減らして値段がどう変わっていくか規則性を考えてみます、

○シュークリームを50個出来るだけ高く買ってもシュークリーム単体で50個買って
180×50=9000円より1000円届かなくなります。
○シュークリーム49個買うと出来るだけ高くしても180×49+220×1=9040円
○シュークリーム48個買うと出来るだけ高くしても180×48+220×2=9080円
○シュークリーム47個買うと出来るだけ高くしても180×47+220×3=9120円

40円ずつ高くなるので10000円になるには1000÷40=25
よりシュークリーム50-25=25個の時に10000円になります。

これが26個以上であれば10000円に届かないので出来るだけ多くシュークリームを買うと25個とわかりました。

この問題はどう考えていけばいいか難しいですが、1個当たりの値段や、つるかめ算でやるような表を書いて規則性を考えたりなど使うことは典型の手法になります。まずはしっかり典型を解けるようにしておきましょう。(畠田)

六甲中学校 入試分析 算数 (A日程) 2020(R2)

今回は六甲学院中学A日程を扱います。

【問題分析】
大問1…王道な計算問題です。確実にあわせましょう。

大問2…完全順列のちょっとした応用問題です。Aだけ同じ場合をやれば5倍すれば良いので完全順列をやったことなくても出来てほしいところです。

大問3…かなりの典型問題の展開図の問題です。解き方を覚えて解けるようにしてください。

大問4…かなりの典型問題の約数の問題です。これも解き方を覚えて解けるようにしておくのが基本です。

大問5…かなりの典型問題の比の問題です。人口密度の比は(人口の比)÷(面積)の比になります。

大問6…消去算になり苦手な人も多いですが,出来るようにしておけば点数とりやすいのでしっかり勉強しておいてほしいです。

大問7…算数的な構造としては不定方程式のような問題です。(1)(2)については計算というよりは、論証を求められています。今回はこの(3)を扱います。

大問8…よくある3つ点が円を回る問題です。同じような問題はやったことあると思うので、しっかり解けるようにしておきたいです。

大問9…見たことないような問題になります。しかし挑戦のなす角度は直線を平行移動しても変わらないので台車が一直線上にあるとすると、光線がなす角度は
(前の台車の回転した角度)-(後ろの台車の回転した角度)
になるのでそんなに難しいわけではないです。

(問題)六甲学院中学 A日程 大問7(3)
2つの砂時計A,Bがあり,砂時計Aは5分,Bは7分を計ることができます。これらの砂時計を使って時間を計ろうと思います。砂時計は初め砂が落ちきった状態にあり,砂時計をひっくり返したときから時間を計るものとします。ただし,砂が落ちている途中に砂時計をひっくり返すことはできますが,横にして砂を止めることはできません。また,ひっくり返すときにかかる時間は考えないものとします。
(3)6分,8分,11分,13分,16分の中で計ることのできない時間はどれですか。答えのみをすべて書きなさい。

[解説]
省略した(2)から
5+(7-5)+(7-5)=9
というように5分の砂時計Aを使えばその後は2ずつ増やすことができます。

計れる一番小さい奇数の時間は5分なので
5,7,9,11,…
というように5以上の奇数はすべて計ることができます。

一番小さい偶数は5分の砂時計Aを2回使った10分となります。
よって
10,12,14,16,…
というように10以上の偶数はすべて計ることができます。

したがって6分,8分,11分,13分,16分のうち計ることができないのは
6分と8分
ということがわかりました。

初見の問題に見えても根幹にあるものは典型的な解法の考え方である場合があります。普段から典型問題の練習と使えないか練習をしておきましょう(畠田)

浦和明の星女子中学校 算数 問題解説&入試分析★2020年(R2年)

今回は浦和明の星中学第1回を扱います。

【入試資料分析】
受験者数2053人
合格者数1061人
実質倍率1.9

平均点は
受験者全体 合格者全体の順に
国語74.7 79
算数56.6 68
理科30.9 35
社会37.6 40.2
合計199.7 222.3

算数はここ数年では少し低めでした。
受験者全体と合格者全体の平均点の差をみると、算数はかなり差がつきやすい科目となっています。

【問題分析】
大問1…(1)計算問題です、必ずあわせましょう。(2)仕事算の基本的な問題です。(3)2つの斜線部の面積が等しいということは,直角三角形とおうぎ形の面積も等しいという、よくあるパターンなのでしっかり正解したい。(4)丁寧に数えて規則性を見つける問題です、正解したい。(5)年齢算、少し応用的ですが正解したい。(6)状況を把握するのが少し難しかったかもしれません。上からと下からと横からを全部あわせて、左右上下を考えましょう。(7)表の読解力が必要ですが、正解したい。(8)少し複雑な食塩水の濃度の問題ですが、あわせておきたいところです。

大問2…(1)旅人算。時間を計算するとそんなに複雑でもないので正解したいところです。(2)そんなに複雑というわけでもないですが、ミスをしないようにきっちり見直しを。

大問3…比の問題です。箱アと箱イはみかんの合計数同じなので比の和が同じようになるようにします。よく練習しておいて確実にあわせたい。

大問4…(1)(2)くらいまでは正解できたらよいと思います。よく見るような問題かもしれませんが、ミスなく数えるのは難しいかもしれません。

大問5…今回はこれを扱います。

(問題)R2 浦和明の星中学 大問5
下の図のように、青い電球と赤い電球をそれぞれ19個ずつ並べ,左から順に0番から18番まで番号をつけました。
青い電球は7秒間隔で,赤い電球は13秒間隔で,次のように一つずつ一瞬だけ発光します。どちらの色の電球も,0,1,2,…,16,17,18,17,16,…2,1,0,1,2,…というように,0番から18番までは番号の小さい順に,18番から0番までは番号の大きい順に発光していくことを繰り返します。
はじめに,0番の青と赤の電球が同時に発光し,その後次々と発光していきました。次の問いに答えなさい。
urawaake20m1.jpg

(1)青と赤の電球が,0番で同時に発光した後,次に同時に発光するのは何番の電球ですか。青と赤の電球の番号をそれぞれ答えなさい。

(2)青と赤の電球が,0番で同時に発光した後,次に同じ番号のところで同時に発光する電球の番号を答えなさい。

(3)同じ番号のところで同時に発光する青と赤の電球が,0番と(2)の答え以外にもあります。その電球の番号を,0番と(2)の答えを除いてすべて答えなさい。

[解説]
(1)7と13は互いの素です。
なので7×13=91秒後に同時に光ることになります。
ということは
青い電球は91÷7=13番目
赤い電球は91÷13=7番目
とわかります。

(2)まず(1)がヒントになってることを疑うのが一番最初にやることがです。
91秒の倍数であるはずで青い電球は13個ずつ進み,赤い電球は7個ずつ進みます。

しかも0と18は1回ついて折り返しで往復しているとなると速さの問題に似ています。

速さの問題では出会いと追いつきを考えました。

urawaakenohosi_2020_kaisetu_m5-1.jpg
urawaakenohosi_2020_kaisetu_m5-2.jpg
出会いでは二つの電球が進んだ個数の和が18×2=36個の整数倍
追い抜きでは二つの電球が進んだ個数の差が18×2=36個の整数倍

となります。

○出会いの時
(13+7)×A=36×B
これを整理して
5×A=9×B
より一番小さいAは9とわかります。

この時,赤い電球は7×9=63進むので

63=36×2+18+9
より番号9とわかります。

○追いつきの時
(13-7)×A=36×B
これを整理して
A=6×B
より一番小さいAは6とわかります。

この時,赤い電球は7×6=42進むので

42=36+6

より番号6です。

ということは番号9より番号6の方が小さいので番号6とわかります。

(3)(2)より
○出会いの時
出会いの電球の番号は9ずつ増えるので
0,9,18,9,0,…

○追いつきの時
追いつきの電球の番号は6ずつ増えるので
0,6,12,18,12,6,0,…

以上より番号は9,12,18とわかりました。

前の問がヒントになってないか?考える,色々と試してみて問題を掴んでみる,似たような問題の解法が使えないか?考える。これらのアプローチを練習していけば合格に近づきます!(畠田)

神戸海星女子学院中学校(A日程) 2020(R2)入試分析 算数 

今回は神戸海星女子学院中学 A日程を扱います

【入試資料分析】
受験者数144人
合格者平均240.0
合格最低点204/360
合格者数97人
実質倍率1.48

ここ数年は平均点が高いので基礎的な間違えてはいけない問題を落とさないようにするタイプの試験になっています。

【問題分析】
大問1…一通りの分野の本当に基本的な例題という問題を集めた小問集合です。ここは落とせません。

大問2…消去算の問題です。やり方は単純なので計算ミスのないようにしたいです。

大問3…(1)(2)かなり典型的な図形の日の問題です。(3)三角形の底辺と高さの比で面積の比が求まりますが(1)(2)が誘導になっているので確実にとりたいです。

大問4…今回はこれを扱います。

大問5…流水算の問題です。一通りの基本的な例題をマスターしておけば解けるので点数をとりたい。

大問6…立方体のブロックがたくさんある問題です。よく練習させられているのでこれもとりたいところです。

(問題)R2 神戸海星女子学院中学 大問4
赤,青,黄の3つのさいころを同時に投げます。次の問いに答えなさい。

(1)赤の目より青の目が大きく,青の目より黄の目が大きくて,3つの目の和が12になるような,赤,青,黄の目の組をすべて書きなさい。例えば,赤の目が1,青の目が2,黄の目が3のときは,(1,2,3)と書きなさい。

(2)3つのさいころの目の積が30となるような目の組はいくつありますか。

(3)赤と青のさいころの目の積が黄のさいころの目よりも小さくなるような目の組はいくつありますか。

[解説]
(1)小<中<大となる1~6からの数字3つを選べば赤、青、黄の目と対応します。
(1,5,6)
(2,4,6)
(3,4,5)

の3つとなります。

(2)
30=2×3×5です。
5の目は必ず1つ出ます。
後は6が出る場合と出ない場合です。

3つの数字の組み合わせを考えてから,赤,青,黄と並べる方法を考えます。

6が出る場合は3つの数字の組は
(6,5,1)
この並べ方は3×2×1=6通り

6が出ない場合は3つの数字の組は
(2,3,5)
この並べ方も3×2×1=6通り

よって6+6=12通りとわかりました。

(3)
赤と青のさいころの目が異なる場合と同じ場合で分けてみます。

赤と青のさいころの目が異なる場合
目の積が5になるとき数字の組合わせは(1,5)で黄色の目は6の1つ
目の積が4になるとき数字の組合わせは(1,4)で黄色の目は6,5の2つ
目の積が3になるとき数字の組合わせは(1,3)で黄色の目は6,5,4の3つ
目の積が2になるとき数字の組合わせは(1,2)で黄色の目は6,5,4,3の4つ
そして赤と青を並べると2通りずつになります。
よって
(1+2+3+4)×2=20通り

赤と青のさいころの目が同じ場合
赤と青のさいころの目が1の時、積は1で黄色は2,3,4,5,6の5通り
赤と青のさいころの目が2の時、積は4で黄色は5,6の2通り
よって5+2=7通り

したがって
20+7=27通り
とわかりました。

この問題は整理や処理の仕方がポイントになります。数え上げていく確かな基礎的な練習が合格に近づきます!(畠田)

フェリス女学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2020年(R2年)

今回はフェリス女学院中学の算数を扱います

【入試資料分析】
2020年度の受験者数は384人で合格者195人、倍率は1.97倍です。

平均点は
国語:70/100
算数:54/100
社会:41/60
理科:42/60

【問題分析】
大問1…(1)王道な計算問題です、絶対あわせましょう。(2)角度を調べると二等辺三角形を発見できる、基本的な良い問題です。(3)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10がそれぞれ何回あらわれて,それは2が何個分か?3が何個分か?5が何個分か?7が何個分か?を考えます。勉強にするにもよい問題です。(4)典型的な比の問題です、必ずあわせたい。(5)例1ではお尻同士がくっついてる場所が一カ所、または全部同じ向き。例2では頭が向き合っている箇所の左側と右側が例1のようになっています。色々書いて規則性を把握しまししょう。

大問3…(1)は扇形から直角二等辺三角形を取り除くだけです。(2)30°を利用して三角形の高さを求めて三角形の面積をひくのがポイントになります。どちらも基礎的なのであわせたい。

大問4…完全にa_(n+1)=2/3×a_n+10を解くという高校の漸化式の問題です。(1)計算してみて操作を理解しましょう。(2)特性方程式x=2/3×x+10を解いてx=30と求めて差を考えるのが高校の解き方ですが、それを誘導でやってくれています。
30-(n+1番目の数)={30-(n番目の数)}×2/3
となっています。(3)30-10=20を何回2/3倍すれば30-29=1より小さくなるか考えます。高校の範囲と言えども誘導がしっかりついてるので点数はとりたいところです。

大問5…今回はこれを扱います。

(問題)R2 フェリス女学院中学校 大問2(1)
Aさん,Bさん,Cさん,Xさんの所持金はそれぞれ1600円,3000円,4000円,x円です。AさんとXさんの所持金の差はa円,BさんとXさんの所持金の差はb円,CさんとXさんの所持金の差はc円です。a,b,cはすべて異なる数です。次の問いに答えなさい。(1),(2)は下のわくの中から選んで答えなさい。
ferisu20m1.jpg
(1)a,b,cの大小関係についてありえないものを,上のわくの中の①~⑥からすべて選び,その番号を答えなさい。

(2)bとcの和がaの2倍に等しいとき,a,b,cの大小関係として考えられるものを,上のわくの中の①~⑥からすべて選び,その番号を答えなさい。

(3)bとcの和がaの2倍に等しいとき,Xさんの所持金x円はいくらですか。

[解説]
(1)大小関係がどこで切り替わるか数直線で考えてみます。
ferisu_2020_kaisetu_m5-1-1.jpg
図はxの位置によってa,b,cの大小関係がどうなるかを表していて、aとbはAとBの中点,bとcはBとCの中点,cとaはCとAの中点を境に大小関係がかわります。
この図から
のa<cとc<bは同時に成立しなくて
のc<aとa<bは同時に成立しないことがわかります。

(2)式で考えると楽です。(1)より②と⑤以外となります。
①a<b<cであればb+c>a+aなのでb+cはaの2倍より大きいです。
④b<c<aであればb+c<a+aなのでb+cはaの2倍より小さい
⑥c<b<aであればb+c<a+aなのでb+cはaの2倍より小さい

のでのb<a<cしかないことがわかります。

(3)
ferisu_2020_kaisetu_m5-1-2.jpg
b<a<cなのでxは図の赤い部分の値よりxは1600より大きく,3000と4000より小さいので
a=x-1600
b=3000-x
c=4000-x
より(x-1600)×2=3000-x+4000-x
整理してx×4=10200からx=10200÷4=2550
とわかりました。

これは高校でやるような絶対値の問題ではあります。綺麗に解けなかったとしても,色々な場合を具体的に考えてみてみましょう。(畠田)

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